Signaalitöötlus

Üheks olulisemaks matemaatiliseks meetodiks signaalitöötluses on Fourier’ analüüs. Tuleb välja, et mistahes perioodiliselt muutuvat suurust, olgu selleks siis mitmesugused elektrilised signaalid, helilained, valguslained ning mehaanilised võnkumised, on võimalik lahutada elementaarsete siinus ja koosinuslainete summaks, mida nimetatakse selle perioodiliselt muutuva suuruse Fourier’ reaks. Rakendades mingile perioodiliselt muutuvale suurusele Fourier’ teisendust, saab selle suuruse lahutada tema sageduskomponentideks. See võimaldab täpselt analüüsida ning kontrollida mingi signaali või helilaine konkreetset sageduskomponenti, mis on kasulik näiteks mitmesugustes elektroonilistes filtrites.

Funktsiooni $f(t)$ nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui $f(-t) = f(t)$ iga $t \in D$ korral.
Funktsiooni $f(t)$ nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui $f(-t) = -f(t)$ iga $t \in D$ korral.
Funktsiooni $f(t)$ nimetatakse perioodiliseks, kui leidub $T \in \mathbb{R}$ nii, et $f(t + T) = f(t)$ iga $t \in D$ korral.
Sellisel juhul nimetatakse arvu $T$ funktsiooni $f(t)$ perioodiks. Kui funktsiooni $f(t)$ perioodiks on $T$, siis on selle funktsiooni perioodideks ka $kT$, kus $k = 1,2,3,...$ Vähimat perioodi $T_0$ nimetakse põhi- ehk fundamentaalperidoodiks. Perioodilise funktsiooni kõik perioodid on põhiperioodi kordsed, s.t $T_n = kT_0, \; k = 1,2,3,...$. Perioodilise funktsiooni sageduseks nimetatakse ühes sekundis sooritatud võngete arvu. Perioodiga $T$ funktsiooni sagedus $f = \frac{1}{T_0}$.

Signaalitöötluses on fundamentaalseks signaaliks harmoonilist ostsillatsiooni kirjeldav sinusoid \[ y(t) = A \cdot \sin(2 \pi f t + \varphi) = A \cdot \cos(2 \pi f t + \varphi - \frac{\pi}{2}), \] kus $A$ on selle signaali amplituud, $f$ on selle signaali sagedus radiaanides ning $\varphi$ on selle signaali faas



Pideva ja perioodilise funktsiooni Fourier' rida on



Euleri valemi $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ abil saab eelnevale Fourier' reale anda kompleksfunktsiooni kuju \[ f(x) = \sum_{i = -\infty}^{\infty} c_n e^{\frac{in \pi x}{L}}, \] kus \[ c_n = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x) e^{- \frac{i n \pi x}{L}} \text{d}x, \; \; n = \pm 0, \pm 1, \pm 2, ... \] Fourier' real trigonomeetrilise esituse ja kompleksesituse kordajad on omavahel seotud \[ a_k = 2 \mathcal{Re} [c_k] \; \; \text{ ja } b_k = - 2 \mathcal{Im} [c_k] \] Paarisfunktsiooni $f(t)$ korral on tema Fourier' rea kõik kordajad $c_n$ reaalarvulised ning paaritu funktsiooni korral on kõik kordajad $c_n$ imaginaarsed.

Integraalteisendus kujutab võrrandi ühest määramispiirkonnast teise piirkonda, kus seda võrrandit on tihti lihtsalt lahendada. Pärast seda kujutatakse saadud lahend esialgsesse määramispiirkonda, kasutades selleks integraalteisenduse pöördteisendust. Integraalteisenduse üldkuju on \[ (Tf)(u) = \int_{t_1}^{t_2} f(t) K(t,u) \text{d}t \] Kui $K(t,u)$ on pööratav, siis saab defineerida pöördteisenduse \[ f(t) = \int_{u_1}^{u_2} (Tf)(u) K^{-1}(u,t) \text{d}u \] Signaalitöötluses on põhiliselt kaks olulist integraalteisendust: Fourier' teisendus ja Laplace teisendus.

Pideva ja mitteperioodilise funktsiooni $f(t)$ Fourier' teisendus on integraalteisendus \[ \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2 \pi i x \xi} \text{d}x, \] mis teisendab ajadomeenis määratud funktsiooni $f(x)$ sagedusdomeenis määratud funktsiooniks $\hat{f}(\xi)$ ning integraalteisendus \[ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{2 \pi i x \xi} \text{d} \xi, \] teisendab sagedusdomeenis määratud funktsiooni $\hat{f}(\xi)$ ajadomeenis määratud funktsiooniks $f(x)$.



Reaalarvude hulgal määratud funktsiooni $f(t)$ Laplace'i teisendus \[ F(s) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-st} \text{d}t\] on integraalteisendus, mis võimaldab lineaarseid diferentsiaalvõrrandeid teisendada algebralisteks võrranditeks. Kui funktsiooni $f$ Fourer' teisendus on kompleksväärtustega reaalmuutuja funktsioon, siis funktsiooni $f$ Laplace'i teisendus on kompleksväärtustega kompleksmuutuja funktsioon.

Laplace'i teisendus on lineaarne, s.t \[ \mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a F(t) + b G(t) \] Laplace'i teisenduse pöördteisendus \[ f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F\}(t) = \frac{1}{2 \pi i} \lim_{T \rightarrow 0} \oint_{\gamma - iT}^{\gamma + iT} e^{st} F(s) \text{d}s \] Funktsioonide $f(x)$ ja $g(x)$ konvolutsioon \[ (f \ast g)(x) := \int_{-\infty}^{\infty} f(y)g(x-y) \text{d}y,\] on integraalteisendus, mis mõõdab, kuivõrd funktsioon $f(x)$ muudab funktsiooni $g(x)$.



Konvolutsiooniteoreem
Forier', Laplace'i ja Z teisendused kujutavad funktsioonide $f(t)$ ja $g(t)$ konvolutsiooni vastavalt nende funktsioonide Fourier', Laplace'i ja Z teisenduste korrutiseks, s.t \[ \mathcal{F,L,X}\{(f \ast g)\} = \mathcal{F,L,X}\{f\} \cdot \mathcal{F,L,X}\{g\} \]

Kaks olulist funktsiooni signaalitöötluses on ühikastefunktsioon $ u(t) = \begin{cases} 1, \text{ kui } t \ge 0 \\ 0, \text{ kui } t < 0 \end{cases} $



ning deltafunktsioon $\delta(t) := \lim_{a \rightarrow 0} \delta_{a}(t),$ kus $ \delta_a (t) = \begin{cases} \frac{1}{2a}, \text{ kui } t \le |a| \\ 0, \text{ kui } t > |a| \end{cases} $


Deltafunktsiooni oluline omadus on \[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \text{d}t = 1 \]

Signaalitöötluses kasutatakse astefunktsiooni tihti lülitina ning deltafunktsiooni impulsina.
Mitteformaalselt saab deltafunktsiooni käsitleda kui astefunktsiooni tuletist ning astefunktsiooni käsitleda kui integraali deltafunktsioonist.

Süsteemide analüüsis on olulisel kohal lineaarsete ajast sõltumate (LTI) süsteemide klass. Kuna lineaarsete süsteemide teooria on hästi arendatud, siis püütakse mittelineaarseid süsteeme tihtipeale lähendada lineaarsetele süsteemidele, et antud probleemi oluliselt lihtsustada. Ühe sisendiga ja ühe väljundiga süsteemi sisendiks on tavaliselt ajas määratud signaal $x(t)$ ning väljundiks samuti ajas määratud signaal $y(t)$ ning vastavat muundumist läbi süsteemi/üleminekufunktsiooni tähistatakse $x(t) \rightarrow y(t)$.

Süsteemi nimetatakse lineaarseks, kui iga kahe sisendi lineaarkombinatsioon teiseneb vastavate väljundite lineaarkombinatsiooniks, s.t \[ a x_1(t)+ b x_2(t) \longrightarrow a y_1(t)+ b y_2(t) \] Süsteemi nimetatakse ajast sõltumatuks, kui selle süsteemi väljundsignaal ei sõltu sellest, millal sisendsignaali süsteemile rakendatakse, s.t \[ y(t) = f(x(t), t) = f(x(t)) \] Süsteemi toimet on võimalik iga sisendi korral välja arvutada selle süsteemi impulsireaktsiooni kaudu. Impulsireaktsiooniks nimetatakse selle süsteemi väljundit $h(t)$ deltafunktsiooni (impulss) sisendile, s.t $\delta(t) \rightarrow h(t)$.

Lineaarse ajast sõltumatu süsteemi sisendsignaali konvolutsioon impulsi-reaktsiooniga annab selle süsteemi väljundsignaali, s.t \[ y(t) = h(t) \ast x(t) \] Kuna funktsioonide konvolutsiooni arvutamine on enamjaolt keeruline ülesanne, siis konvolutsiooniteoreemi abil on võimalik see ülesanne teisendada sisendsignaali $x(t)$ ja impulsireaktsiooni $h(t)$ Laplace teisenduste $X(s)$ ja $H(s)$ korrutiseks, s.t \[ Y(s) = H(s) \cdot X(s), \] pärast mille lahendamist teisendatakse sagedusdomeenis saadud lahend Laplace'i pöördteisenduse abil tagasi ajadomeeni.



Kommunikatsioonitehnoloogias edastatakse informatsiooni moduleerimise teel.

Amplituudi moduleerimise (AM) korral varieeritakse kandesignaali amplituudi vastavalt põhisignaalile.
Kandesignaali $A \sin(2 \pi f t + \varphi)$ moduleerimisel põhisignaaliga $f(t)$ on tulemuseks signaal \[ y(t) = f(t) \cdot A \sin(2 \pi f t + \varphi) \]

Sageduse moduleerimise (FM) korral varieeritakse kandesignaali sagedust vastavalt põhisignaalile.
Kandesignaali $A \sin(2 \pi f t + \varphi)$ moduleerimisel põhisignaaliga $f(t)$ on tulemuseks signaal \[ y(t) = A \cos \Big( 2 \pi f t + 2 \pi f_{\Delta} \int_{0}^{t} f(\tau) \text{d} \tau \Big), \]