Rühmateooria

Hulgaks nimetatakse omavahel erinevate objektide kogumit.

Hulkade $A$ ja $B$ otsekorrutiseks nimetatakse hulka $A \times B$, mis koosneb hulkade $A$ ja $B$ elementide kõikvõimalikest järjestatud paaridest, s.t \[ A \times B := \{ (a,b) \; | \; a \in A, \; b \in B \}\] Seoseks hulkade $A$ ja $B$ vahel nimetatakse nende hulkade otsekorrutise mistahes alamhulka $\rho \subset A \times B$.

Seost $\rho \subset A \times A$ nimetatakse
1. reflefsiivseks, kui $(a,a) \in \rho$ iga $a \in A$ korral;
2. sümmeetriliseks, kui iga $(a,b) \in \rho$ korral $(b,a) \in \rho$;
3. transitiivseks, kui iga $(a,b) \in \rho$ ja $(a,c) \in \rho$ korral $(a,c) \in \rho$.

Seost $\rho \subset A \times A$ nimetatakse ekvivalentsusseoseks, kui ta on refleksiivne, sümmeetriline ja transitiivne.

Hulga $A$ klassijaotuseks nimetatakse hulga $A$ lõikumatute alamhulkade hulka, mille ühend on $A$.

Hulga $A$ kõigi klassijaotuste hulka saab seada üksühesesse vastavusse kõigi ekvivalentsusseostega sellel hulgal.

Klassijaotust $K$, mis on vastavuses seosega $\rho \subset A \times A$, nimetatakse hulga $A$ faktorhulgaks seose $\rho$ järgi ja tähistatakse $A/\rho$.

Kujutuseks hulgast $A$ hulka $B$ nimetatakse eeskirja $f : A \longrightarrow B$, mis hulga $A$ igale elemendile seab vastavusse üheselt määratud elemendi hulgast $B$. Kui hulga $A$ element $a$ seatakse vastavusse hulga $B$ elemendiga $b$, siis seda vastavust tähistatakse $f(a) = b$, kusjuures elementi $a$ nimetatakse elemendi $b$ originaaliks ning elementi $b$ nimetatakse elemendi $a$ kujutiseks.

Formaalselt võib kujutuseks $f : A \longrightarrow B$ nimetatakse nende hulkade otsekorrutise $A \times B$ osahulka $f \subset A \times B$, mille puhul on täidetud tingimused:
1. iga $a \in A$ korral leidub $b \in B$ nii, et $(a,b) \in f$;
2. kui $(a,b) \in f$ ja $(a,c) \in f$, siis $b = c$.

Kujutust $f : A \longrightarrow B$ nimetatakse
1. injektiivseks, kui võrdusest $f(a) = f(b)$ järeldub $a = b$, s.t kui erinevad elemendid kujutatakse erinevateks elementideks;
2. sürjektiivseks, kui iga $b \in B$ jaoks leidub $a \in A$ nii, et $f(a) = b$, s.t kui sihthulga igal elemendil leidub originaal;
3. bijektiivseks, kui ta on injektiivne ja sürjektiivne.

Rühm

Kahekohaliseks Algebraliseks tehteks hulgal $A$ nimetatakse kujutust $\ast : A^2 \longrightarrow A$.

Rühm on hulk $G$ koos kahekohalise algebralise tehtega $\ast$, mis täidab järgmisi tingimusi:
G1. $(a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c)$ iga $a,b,c \in G$ korral, s.t tema tehe on assotsiatiivne
G2. leidub ühikelement $e \in G$ nii, et $a \ast e = e \ast a = a$ iga $a \in G$ korral;
G3. iga $a \in G$ korral leidub pöördelement $b:= a^{-1} \in G$ nii, et $a \ast b = b \ast a = e$.

Lõpliku rühma järguks nimetatakse tema elementide arvu.

Rühma $G$ alamrühmaks nimetatakse tema alamhulka $H$, mis on kinnine rühma $G$ tehte suhtes. Tähistatakse $H \leq G$.
Igal rühmal $G$ on vähemalt kaks alamrühma: $G$ ise ja triviaalne alamrühm $\{e\}$, sarnaselt nagu igal naturaalarvul $n$ on vähemalt kaks jagajat, $n$ ja $1$.

Olgu $H$ rühma $G$ alamrühm ja $a \in G$. Hulka $aH = \{ ah \; | \; h \in H \}$ ja hulka $Ha = \{ ha \; | \; h \in H \}$ nimetatakse vastavalt rühma $G$ vasakpoolseks ja parempoolseks kõrvalklassiks alamrühma $H$ järgi esindajaga $a$, kusjuures $H = bH$ parajasti siis, kui $b \in H$.

(Lagrange'i teoreem). Rühma $G$ on tema iga alamrühma $H$ abil võimalik jaotada alamrühma $H$ kõrvalklasside $g_i H$ lõikumatuks ühendiks, s.t $G = \bigsqcup_{g \in G} g H$, kusjuures $|g_i H| = |g_j H|$ iga $g_i,g_j \in G$ korral, ehk $|G| = |\bigsqcup_{g \in G} g H| = d |H|$, kus $d$ on rühma $G$ katmiseks vajalik kõrvalklasside arv. Sellest tulenevalt $|H| | |G|$ ehk alamrühma $H$ järk jagab rühma $G$ järku. See seab piirangud, milliste elementide arvuga alamrühmi rühmal $G$ saab leiduda.

Rühma $G$ alamrühma $N$ nimetatakse normaalseks alamrühmaks ehk normaaljagajaks, kui iga $g \in G$ korral $gN = Ng$, s.t $gn = ng$ ehk $n = g^{-1}ng \in N$ ehk $N = g^{-1}Ng$ iga $g \in G$ ja $n$ in $N$ korral.Kui $H$ on rühma $G$ normaaljagaja, siis kirjutatakse $H \unlhd G$.

Rühma $G$ iga normaalse alamrühma $N$ kõrvalklassid $g_i N$ moodustavad rühma tehte $(g_1 N) \ast (g_2)N := (g_1 \cdot g_2)N$ suhtes. Selle rühma ühikelemendiks on kõrvalklass $1N = N$ ning kõrvalkassi $gN$ pöördelemendiks on $g^{-1}N$. Saadud rühma nimetatakse rühma $G$ faktorrühmaks normaalse alamrühma $N$ järgi ning tähistatakse $G/N$, s.t $G/N := \{ gN \; | g \in G \}$.

Rühma nimetatakse lihtsaks, kui tal ei ole mittetriviaalseid normaaljagajaid.

Rühma, mis ei ole lihtne, saab lahutada mittetriviaalseks normaalseks alamrühmaks ja faktorrühmaks, mida omakorda saab lahutada vastavateks alamrühmadeks.
Rühma $G$ kompositsioonjärjendiks nimetatakse järjendit $1 = H_0 \lhd H_1 \lhd ... \lhd H_n = G$, kus iga $H_i$ on talle järgneva $H_{i+1}$ maksimaalne normaalne alamrühm.

Lõplike rühmade korral jõuab sellise lahutuse käigus välja lihtsate rühmadeni, kui lõpmatute rühmade korral ei pruugi kompositsioonijärjendit leiduda.

2004. aastal saadi valmis lõplike lihtsate rühmade klassifikatsioon, mis oli oluline samm matemaatika arengus.

Rühmade näited

Täisarvude hulk $\mathbb{Z}$ on rühma täisarvude tavalise liitmise suhtes. Ühikelemendiks on $0$ ning täisarvu $n$ pöördelemendiks on $-n$.

Ühikringil paiknevate kompleksarvude hulk $\mathbb{T} := \{ z \in \mathbb{C} \; | \; |z| = 1 \}$ on rühm kompleksarvude korrutamise suhtes. Ühikelemendiks on $1$ ning kompleksarvu $z = e^{i \theta}$ pöördarvuks on $z^{-1} = e^{-i \theta}$.

Täisarvude kongruentsiklassid

Täisarve $a,b$ nimetatakse kongruentseteks mooduli $n \in \mathbb{N}$ järgi ja tähistatakse $a \equiv b \; (\text{mod} n)$, kui $b-a | n$, s.t kui $a$ ja $b$ annavad arvuga $n$ jagades sama jäägi.

Antud mooduli $n \in \mathbb{N}$ korral tähistatakse kõiki täisarvuga $a$ kongruentseid täisarve sümboliga $\overline{a}_n := \{ b \in \mathbb{Z} \; | \; a \equiv b \; (\text{mod} \; n) \}$.

Kõigi täisarvude kongruentsiklasside hulk (mooduli $n$ järgi) $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z} := \{ \overline{0}_n, \overline{1}_n, ... , \overline{n-1}_n \}$ on rühm kongruentsiklasside liitmise $\overline{a}_n + \overline{b}_n := \overline{a+b}_n$ suhtes.
Algarvu $p$ korral on rühm $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ lihtne.

Sümmeetrilised rühmad

$n$-elemendilise hulga $X$ kõigi bijektiivsete teisenduste hulk $S_n$ on rühm bijektsioonide järjestrakendamise suhtes ning seda rühma nimetatakse sümmeetriliseks rühmaks. Selle rühma järk $|S_n| = n!$.

Sümmeetriliste rühmade alamrühmi nimetatakse permutatsioonirühmadeks. Hulga permutatsiooniks nimetatakse tema elementide mistahes ümberjärjestust. $n$-elemendilisel hulgal on $n! = n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ permutatsiooni.

Cayley teoreem. Iga rühm $G$ on isomorfne mingi sümmeetrilise rühma alamrühma toimega rühmal $G$.

Regulaarsete ruutmaatriksite rühm

Regulaarsete (pööratavate) $n$-järku ruutmaatriksite hulk moodustab rühma nende maatriksite korrutamise suhtes. Saadud rühma nimetatakse üldiseks lineaarseks rühmaks ja tähistatakse $GL(n,\mathbb{R})$.

Erijuhuna determinandiga $1$ $n$-järku ruutmaatriksite hulk moodustab samuti rühma maatriksite korrutamise suhtes. Saadud rühma nimetatakse eritüüpi lineaarseks rühmaks ja tähistatakse $SL(n, \mathbb{R})$.

Rühmadevahelised kujutused

Rühmade $(G_1, \ast)$ ja $(G_2, \cdot)$ vahelist kujutust $f : G_1 \longrightarrow G_2$ nimetatakse rühmade homomorfismiks, kui $f(a \ast b) = f(a) \cdot f(b)$ iga $a,b \in G_1$ korral.
Homomorfism väljendab vastavate rühmade struktuurilist sarnasust.

Rühmade homomorfismi $f : G_1 \longrightarrow G_2$ tuumaks nimetatakse hulka $\text{Ker} f := \{ a \in G \; | \; f(a) = 1 \}$.
Injektiivsust kaotavate elementide $g_1,...,g_n \in G_1$ korral, kus $f(g_1) = ... = f(g_n) = g$, järeldub, et $f(g_i) = 1$ ehk $g_i \in \text{Ker} f$ iga $i = 1,...,n$ korral, mis tähendab, et $\text{Ker} f$ on homomorfismi $f$ "injektiivsuse mõõduks", kusjuures homomorfism $f$ on injektiivne parajasti siis, kui $\text{Ker}f = \{ 1 \}$.

Kujutus $\pi : G \rightarrow G / H$ on rühmade homomorfism. Seda kujutust nimetatakse loomulikuks projektsiooniks faktorrühmale $G/H$.
Rühmade homomorfismi tuum on normaaljagaja.

Saab näidata, et analoogiliselt vektorruumidega on rühma kongruentsid üksüheses vastavuses normaaljagajatega, kusjuures kongruentsiklassideks on kõrvalklassid selle normaaljagaja järgi.

(Homomorfismiteoreem) Olgu $f : G \rightarrow G'$ rühmade homomorfism. Siis leidub üksühene homomorfism $g : G / \text{Ker}f \rightarrow G'$ nii, et $f = g \pi$, kus $\pi : G \rightarrow G / \text{Ker}f$ on loomulik projetksioon.

Järeldus. Kui $f: G \rightarrow G'$ on sürjektiivne rühmade homomorfism, siis $G' \cong G / \text{Ker}f$. Kui $H$ ja $K$ on rühma $G$ mingi alamhulgad, siis tähistatakse $HK := \{ hk \; | \; h \in H, k \in K \} $.

Bijektiivset homomorfismi nimetatakse isomorfismiks.

Järgnevad on kolm klassikalist teoreemi, mis käivad isomorfismide kohta teatud faktorrühmade vahel.

(Esimene isomorfismiteoreem) Olgu $G$ rühma, $H \leq G$ ja $K \unlhd G$. Siis $HK/K \cong H / (H \cap K)$.

(Teine isomorfismiteoreem) Olgu $G$ rühm, $H \unlhd G, \; K \unlhd G$ ja $K \subseteq H$. Siis $(G/K)/(H/K) \cong G/H$.

(Kolmas isomorfismiteoreem) Olgu $G$ rühm, $H \unlhd G, \; \; \pi : G \rightarrow G/H$ loomulik projektsioon, $N \unlhd G/H$ ja $M = \pi^{-1}(N)$. Siis $M \unlhd G$ ja $G/M \cong (G/H)/N$.

Rühma toime

Rühma $G$ vasakpoolseks toimeks hulgal $X$ nimetatakse kujutust $f : G \times X \longrightarrow X$, mille puhul $f(1,x) = x$ iga $x \in X$ korral ja $f(gh,x) = f(g, h(x))$ iga $g,h \in G$ ja $x \in X$ korral. Analoogiliselt defineeritakse rühma parempoolne toime.