Reaalanalüüs

Reaalarvud

Reaalarvude hulk $\mathbb{R}$ on täielik järjestatud korpus, s.t hulk, milles on defineeritud kaks kahekohalist algebralist tehet liitmine ja korrutamine nii, et kehtivad järgmised aksioomid:

Aritmeetika
$\displaystyle a+b = b+a$ liitmise kommutatiivsus
$\displaystyle (a+b) + c = a + (b + c)$ liitmise assotsiatiivsus
$\displaystyle a + 0 = a \; \forall a \in \mathbb{R}$ nullelemendi olemasolu
$\displaystyle \forall a \in \mathbb{R} \; \exists -a \in \mathbb{R}$ nii, et $a+(-a) = 0$ vastandelemendi olemasolu
$\displaystyle ab = ba$ korrutamise kommutatiivsus
$\displaystyle (ab)c = a(bc)$ korrutamise assotsiatiivsus
$\displaystyle a \cdot 1 = a \; \forall a \in \mathbb{R}$ ühikelemendi olemasolu
$\displaystyle \forall a \in \mathbb{R} \; \exists a^{-1}$ nii, et $aa^{-1} = 1$ pöördelemendi olemasolu
$\displaystyle (a+b)c = ac + bc \; \forall a,b,c \in \mathbb{R}$ distributiivsus

Järjestus
iga $a,b \in \mathbb{R}$ korral kehtib parajasti üks tingimustest $a = b, \; a < b, \; b < a$
$a < b \land b < c \Rightarrow a < c$ transitiivsus
$a < b \Rightarrow a + c < b + c \; \forall a,b,c \in \mathbb{R}$ liitmise monotoonsus
$a < b \land c > 0 \Rightarrow ac < bc$ korrutamise monotoonsus

Kehtib pidevuse aksioom (reaalarvude hulga täielikkus): igal ülalt tõkestatud mittetühjal hulgal $X \in \mathbb{R}$ leidub vähim ülemine tõke ehk ülemine raja, mida tähistatakse $\sup X$.

Reaalarvude omadused

Iga mittenegatiivse reaalarvu $b$ ja iga naturaalarvu $n$ korral leidub üheselt määratud mittenegatiivne reaalarv $x$ omadusega $x^n = b$.

Archimedese printsiip. Iga reaalarvu $a$ korral leidub selline naturaalarv $n$, et $a < n$, s.t $\Bbb{N}$ ei ole tõkestatud hulgas $\Bbb{R}$.

Mistahes kahe reaalarvu $a < b$ vahel leidub lõpmata palju nii ratsionaalarve kui ka irratsionaalarve. Reaalarvude hulk on kontiinumi võimsusega. Ratsionaalarvude hulk on loenduv ja mittetäielik.

Reaalarvude osahulgad

Intervalliks nimetatakse sellist alamhulka $X \subset \Bbb{R}$, millel on järgmine omadus: kui $a,b \in X$ ja $a < x < b$, siis $x \in X$.

Olulisemad intervallid on vahemikud $(a,b)$, poollõigud $[a,b)$ ja $(a,b]$, lõigud $[a,b]$ ning tõkestamata intervallid $(-\infty,b), \; (-\infty, b], \; (a, \infty), \; [a, \infty)$.

Olgu $a \in \Bbb{R}$. Vahemikku $(a-\delta, a+\delta) := \bigcup_{\delta}(a)$, kus $\delta$ on mingi positiivne arv, nimetatakse punkti $a$ $\delta$-ümbruseks.

Punkti $A \in X$ nimetatakse hulga $X \subset \Bbb{R}$ sisepuntiks, kui leidub selline $\delta > 0$, et $\bigcup_{\delta}(a) \subset X$. Kõigi sisepunktide hulka tähistatakse $A^{\circ}$.

Ainult sisepunktidest koosnevat alamhulka nimetatakse lahtiseks.

Intervalli $(M,\infty) := \bigcup_{M}(\infty)$, kus $M > 0$, nimetatakse lõpmatuspunkti $\infty$ ümbruseks.
Intervalli $(-\infty,-M) := \bigcup_{M}(-\infty)$, kus $M > 0$, nimetatakse lõpmatuspunkti $-\infty$ ümbruseks.

Reaalarve $\Bbb{R} \setminus \Bbb{Q}$ nimetatakse irratsionaalarvudeks.
Vahemik $(0,1)$ ei ole loenduv hulk. Seega on ka hulk $\Bbb{R}$ mitteloenduv.
Igaes mittetühjas naturaalarvude hulgas on vähim element.
Kõigi ratsionaalarvude hulk $\Bbb{Q}$ on loenduv.

Reaalarvu absoluutväärtus

Arvu $a \in \Bbb{R}$ absoluutväärtuseks nimetatakse arvu $|a| := \begin{cases} a, \text{ kui } a \ge 0 \\ -a, \text{ kui } a < 0 \end{cases}$ ehk $|a| = \max \{ -a,a \}.$

Kehtivad absoluutväärtuse omadused: $a \leq |a|, \; -a \leq |a|, \; |a| \ge 0, \; |-a|=|a|, \; |a| = 0 \Leftrightarrow a = 0$

Arvude $a$ ja $c$ korral kehtib võrratus $|a| \leq c$ parajasti siis, kui $-a \leq a \leq c$.

Absoluutväärtuse omadused:
1. $|a+b| \leq |a| + |b|$
2. $|a-b| \leq |a| + |b|$
3. $||a|-|b|| \leq |a-b|$
4. $|ab| = |a| \cdot |b|$

Funktsioonid

Funktsiooniks nimetatakse eeskirja $f$, mis hulga $X$ igale elemendile seab vastavusse üheselt määratud elemendi hulgast $Y$. Funktsiooni $f$ hulgast $X$ hulka $Y$ tähistatakse $f:X \rightarrow Y$, kus hulka $X$ nimetatakse selle funktsiooni määramispiirkonnaks (lähtehulk) ning hulka $Y$ muutumispiirkonnaks (sihthulk). Analüütiliselt esitatud funktsiooni $y = f(x)$ korral nimetatakse muutujat $x$ selle funktsiooni argumendiks (sõltumatu muutuja) ning muutujat $y$ selle funktsiooni väärtuseks kohal $x$ (sõltuv muutuja).

Rakenduslikus mõttes võib funktsioone käsitleda kui seoseid mingis protsessis muutuvate suuruste vahel.

Põhilised elementaarfunktsioonid on astmefunktsioon $x^a$, eksponentfunktsioon $a^x$, logaritmfunktsioon $\log_a x$, trigonomeetrilised funktsioonid ning kõik funktsioonid, mis on saadud eelnimetatud funktsioonidest aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni teel:

Tehted funktsioonidega. Olgu $f : D \longrightarrow \Bbb{R}$ ja $g : D \longrightarrow \Bbb{R}$. Defineerime
1. $f+g : D \longrightarrow \Bbb{R}, \; (f+g)(x) := f(x) + g(x)$ - funktsioonide $f$ ja $g$ summa
2. $f-g : D \longrightarrow \Bbb{R}, \; (f-g)(x) := f(x) - g(x)$ - funktsioonide $f$ ja $g$ vahe
3. $\lambda f : D \longrightarrow \Bbb{R}, \; (\lambda f)(x) := \lambda g(x)$ - funktsioonide $f$ $\lambda$ kordne
4. $fg : D \longrightarrow \Bbb{R}, \; (fg)(x) := f(x) g(x)$ - funktsioonide $f$ ja $g$ korrutis
5. $\frac{f}{g} : D \longrightarrow \Bbb{R}, \; (\frac{f}{g})(x) := \frac{f(x)}{g(x)}$ - funktsioonide $f$ ja $g$ jagatis, $g(x) \neq 0 \; \forall x \in D$

$f+g = g+f, \; \; (f+g)+h = f+(g+h), \; \; fg = gf, \;\; (fg)h = f(gh), \;\; (f+g)h = fh+gh$



Olgu $f : D \longrightarrow \Bbb{R}$ ja $h : E \longrightarrow \Bbb{R}$ sellised funktsioonid, et $f(D) \subset E$.

Funktsioonide $f$ ja $h$ liitfunktsiooniks ehk kompositsiooniks nimetatakse funktsiooni \[ h \circ f : D \longrightarrow \Bbb{R}, \; h \circ f(x) := h(f(x)) \]

Kui funktsiooni $f : D \longrightarrow \Bbb{R}$ igale väärtusele $y \in y(D)$ vastab ainult üks argumendi väärtus $x \in D$, siis ütleme, et funktsioon $f$ on pööratav.
$f^{-1} : f(D) \longrightarrow D, \; \; f^{-1}(y) := x$, kus $y = y(x)$ on funktsiooni $f$ pöördfunktsioon.

Funktsiooni piirväärtus

Arvu $a$ nimetatakse hulga $D \subset \Bbb{R}$ kuhjumispunktiks, kui \[ (\bigcup_{p}(a) \setminus \{ a \}) \cap D \neq \emptyset, \text{ iga } p > 0 \text{ korral } \] Funktsiooni piirväärtus kohal $a \in X$ on arv, millele funktsiooni väärtused lähenevad argumendi lähenemisel arvule $a$, s.t \[ \lim_{x \rightarrow a} f(x) = A \Leftrightarrow (a \rightarrow x \Rightarrow f(x) \rightarrow A) \] \[ \lim_{x \rightarrow a} f(x) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0: 0<|x-a|< \delta \Rightarrow |f(x)-A|< \varepsilon \] \[ \lim_{x \rightarrow a} f(x) = \infty \Leftrightarrow \forall M \ge 0 \; \exists \delta > 0: 0<|x-a|< \delta \Rightarrow f(x)> M \] \[ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \; \exists K \ge 0: x > K \Rightarrow |f(x)-A|< \varepsilon \] Mitteformaalselt \[ \lim_{x \rightarrow a} f(x) = A \Leftrightarrow \text{ iga } \bigcup_{\varepsilon}(A) \text{ korral leidub } \bigcup_{\delta}(a) \text{ nii, et kui } x \in \bigcup_{\delta}(a) \setminus \{ a \}, \text{ siis } f(x) \in \bigcup_{\varepsilon}(A) \]

Teoreemid

Heine kriteerium. Olgu $a \in \Bbb{R}$ hulga $D$ kuhjumispunkt. Arv $A$ on funktsiooni $f : D \longrightarrow \Bbb{R}$ piirväärtus punktis $a$ parajasti siis, kui iga arvuks $a$ koonduva argumendi väärtuste jada $(x_k)$ korral, kus $x_k \neq a$ funktsiooni väärtuste jada $(f(x_k))$ koondub arvuks $A$. \[ \lim_{x \rightarrow a}f(x) = A \Leftrightarrow [x_k \in D \setminus \{ a \}, x_k \rightarrow a] \Rightarrow f(x_k) \rightarrow A \]
Funktsiooni piirväärtus antud punktis on üheselt määratud: kui $\lim_{x \rightarrow a}f(x) = A$ ja $\lim_{x \rightarrow a}f(x) = B$, siis $A = B$.

Kui $\lim_{x \rightarrow a}f(x) = A$, siis leidub punktil $a$ selline ümbrus $U_{\delta}(a)$, et funktsioon $f$ on hulgas $U_{\delta}(a) \cap D$ tõkestatud.

Kui $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = 0$ ja funktsioon $g$ tõkestatud punkti $a$ mingis ümbruses $U_{\delta}(a)$, siis $\lim_{x \rightarrow a}f(x)g(x) = 0$.

Olgu punktil $a$ selline ümbrus $U_{\delta}(a)$, et $f(x) \leq g(x)$ iga $U_{\delta}(a)$ korral.
Kui $\lim_{x \rightarrow a}f(x) = A$ ja $\lim_{x \rightarrow a}g(x) = B$, siis $A \leq B$.

Olgu punktil $a$ selline ümbrus $U_{\delta}(a)$, et $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ iga $x \in U_{\delta}(a)$ korral.
Kui $\lim_{x \rightarrow a}f(x) = \lim_{x \rightarrow a}g(x) = A$, siis $\lim_{x \rightarrow a}h(x) = A$.

Kui $\; \displaystyle \lim_{x \rightarrow a}f(x) = A \; $ ja $\; \displaystyle \lim_{x \rightarrow a} g(x) = B$, siis \[ \lim_{x \rightarrow a} (f(x) + g(x)) = A + B \] \[ \lim_{x \rightarrow a} (f(x) - g(x)) = A - B \] \[ \lim_{x \rightarrow a} (f(x) \cdot g(x)) = A B \] \[ \lim_{x \rightarrow a} (\frac{f(x)}{g(x)}) = \frac{A}{B} \]
$0 < |\sin x| < |x| < |\tan x|$, kui $0 < |x| < \frac{\pi}{2}$.

$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1$.

Funktsioonide pidevus

Olgu $a \in D$ hulga $D$ kuhjumispunkt. Funktsiooni $f : D \longrightarrow \Bbb{R}$ nimetatakse pidevaks punktis $a$ (kohal $a$), kui \[ \lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a) \text{ ehk } \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 : [x \in D, |x-a| < \delta] \Rightarrow |f(x)-f(a)| < \varepsilon \].
Funktsiooni nimetatakse pidevaks hulgas $X \subset D$, kui ta on pidev igas punktis $x \in X$.

Kõik elementaarfunktsioonid on oma määramispiirkonnas pidevad.

Funktsiooni $f : D \longrightarrow \Bbb{R}$ katkevuspunktiks nimetatakse hulga $D$ kuhjumispunkti $a$, milles $f$ ei ole pidev. Kui katkevuspunktis $a$ on fuktsioonil $f$ mõlemad lõplikud ühepoolsed piirväärtused, siis kõneldakse esimest liiki katkevusest, ülejäänud juhtudel teist liiki katkevusest.

Kui esimest liiki katkevuse korral $\lim_{x \rightarrow a-}f(x) = \lim_{a \rightarrow a+}f(x)$, siis on tegu kõrvaldatav katkevusega.

Pidevuse Heine kriteerium. Olgu $a \in D$ hulga $D$ kuhjumispunkt. Funktsioon $f : D \longrightarrow \Bbb{R}$ on pidev punktis $a$ parajasti siis, kui iga arvuks $a$ koonduva argumendi väärtuste jada $(x_k)$ korral funktsiooni väärtuste jada $(f(x_k))$ koondub piirväärtuseks $f(a)$, s.t kui kehtib \[ [x_k \in D, \; \; x_k \rightarrow a] \Rightarrow f(x_k) \rightarrow f(a) \] Intervallis pideva funktsiooni väärtuste hulk on intervall, kusjuures kui $y_1$ ja $y_2$ on selle funktsiooni kaks erinevat väärtust, siis on selle funktsiooni väärtusteks ka kõik arvud $y_1$ ja $y_2$ vahel. Sellest tulenevalt, kui $y_1 < 0$ ja $y_2 > 0$ või vastupidi, siis leidub punkt $c \in D$, mille korral $f(c) = 0$, s.t kui lõigus pideva funktsiooni graafiku otspunktid asuvad teine teisel poole $x$-telge, siis graafik lõikab $x$-telge vähemalt ühes punktis. Kui funktsioon on pidev mingis lõigus, siis on ta selles lõigus ka tõkestatud ning samuti leiduvad tal selles lõigus suurim ja vähim väärtus.

Diferentsiaalarvutus

Funktsiooni $f : X \longrightarrow \mathbb{R}$ tuletiseks lahtise intervalli $X \subset \mathbb{R}$ punktis $a \in X$ nimetatakse piirväärtust \[ f'(a) := \lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x} \] Kui see piirväärtust on lõplik, s.t $f'(a) \in \mathbb{R}$, siis öeldakse, et funktsioon $f$ on diferentseeruv punktis $a$.
Kui funktsioon $f$ on diferentseeruv hulga $A \subset X$ igas punktis, siis öeldakse, et funktsioon $f$ on diferentseeruv hulgas $A$.
Kui funktsioon $f$ on diferentseeruv oma määramispiirkonna igas punktis, siis nimetatakse funktsiooni $f$ diferentseeruvaks.

Diferentseeruva funktsiooni $f$ puhul on määratud tuletisfunktsioon $f' : X \longrightarrow \mathbb{R}$, mida tähistatakse $f'(x)$ või $\frac{\text{d}f}{\text{d}x}$.

Geomeetriliselt väljendab funktsiooni $f$ tuletis punktis $a$ selle funktsiooni graafiku puutuja tõusu punktis $(a,f(a))$. Selle puutuja võrrand on $y = f'(a)(x-a)+f(a)$, kus puutuja tõus on võrdne selle puutuja tõusunurga tangensiga, s.t $f'(a) = \tan \alpha$, kus $\alpha$ on nurk sirge $y$ ja $x$-telje vahel.

Kohal $a \in D$ diferentseeruva funktsiooni $f : D \longrightarrow \Bbb{R}$ graafiku puutujaks punktis $(a,f(a))$ nimetatakse sirget võrrandiga \[ y = f'(a)(x-a)+f(a) \] Seega
- punktis $(a,f(a))$ on funktsiooni graafiku puutujaks punkte $(a,f(a))$ ja $(x,f(x))$ läbiva lõikaja piirseis protsessis $x \rightarrow a$.
- tuletis $f'(a)$ on võrdne puutuja tõusuga, s.t tõusunurga tangensiga

Funktsiooni $f$ diferentsiaaliks kohal $a$ nimetatakse $dy := f'(a)dx$, lühidalt $df$.

Diferentseeruva funktsiooni $f' : D \longrightarrow \Bbb{R}$ tuletist punktis $a \in D$ \[ f''(a) := f^{(a)}(a) := \lim_{x \rightarrow a}\frac{f'(x)-f'(a)}{x-a} \] nimetatakse funktsiooni $f$ teiseks tuletiseks kohal $a$. Kui $f''(a)$ on lõplik, siis öeldakse, et $f$ on kaks korda diferentseeruv kohal $a$.
Üldiselt, $n-1$ korda diferentseeruva funktsiooni $f^{(n-1): D \longrightarrow \Bbb{R}}$ tuletis punktis $a$ \[ f^{(n)}(a) := \lim_{x \rightarrow a}\frac{f^{(n-1)}(x) - f^{(n-1)}(a)}{x-a} \] Leibnizi tähistuses $\frac{d^n f}{d x^n}$. Kui $f^{(n)}(x) < \infty$ iga $x \in D$ korral, siis nimetatakse $f$-i $n$ korda diferentseeruvaks.

Punkti $a \in D$ nimetatakse statsionaarseks, kui $f'(a) = 0$.