Defineerime eukleidilise vektorruumi $\mathbb{R}^n$ vektorite $\mathbf{x} = (x_1,...,x_n)$ ja $\mathbf{y} = (y_1,...,y_n)$ skalaarkorrutise
kui reaalarvu $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} := \sum_{k=1}^n x_k y_k$.
Eukleidiline vektorruum $\mathbb{R}^m$ moodustab normeeritud vektorruumi normi $\Vert \cdot \Vert : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}, \; \;
\Vert \mathbf{x} \Vert := \sqrt{\mathbf{x} \cdot \mathbf{x}} = \sqrt{\sum_{k=1}^n x_{k}^2}$ suhtes.
Punkti $\mathbf{a} = (a_1,...,a_n) \in \Bbb{R}^n$ lahtiseks(kinniseks) $ \varepsilon-$ümbruseks nimetatakse hulka
\[ U_{\varepsilon}(\mathbf{a}) := \{ \mathbf{x} \in \Bbb{R}^n : \Vert \mathbf{x}-\mathbf{a} \Vert \lt \varepsilon \} = \{ (x_1,...,x_n) \; | \; \sqrt{(x_1-a_1)^2 + ... + (x_m - a_m)^2} \lt (\leq) \varepsilon \} \]
Punkti $A \in D \subset \Bbb{R}^m$ nimetatakse hulga $D$ sisepunktiks, kui leidub selline $\varepsilon \gt 0$, et $U_{\varepsilon(A)} \subset D$.
Hulga $A$ kõigi sisepunktide hulka tähistatakse $A^{\circ}$ ja nimetatakse hulga $A$ sisemuseks.
Mitmemuutuja funktsioonid
Mitmemuutuja funktsiooniks nimetatakse eeskirja $f : D \subset \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$, mis seab
$n$-mõõtmelise eukleidilise ruumi $\mathbb{R}^n$ osahulga $D$ igale punktile $\mathbf{x} = (x_1,...,x_m) \in D$
vastavusse üheselt määratud reaalarvu $f(\mathbf{x})$ hulgast $\mathbb{R}$.
Ühe muutujaga funktsioon on tasandil joon; kahe muutujaga funktsioon on ruumis pind z = f(x, y).
$m$-muutuja funktsioonide $f$ ja $g$ summa, vahe, korrutis ning jagatis defineeritakse punktiviisiliselt vastavalt
\[ (f+g)(\mathbf{x}) := f(\mathbf{x}) + g(\mathbf{x}) \]
\[ (f-g)(\mathbf{x}) := f(\mathbf{x}) - g(\mathbf{x}) \]
\[ (fg)(\mathbf{x}) := f(\mathbf{x}) \cdot g(\mathbf{x}) \]
\[ \Big( \frac{f}{g} \Big) (\mathbf{x}) := \frac{f(\mathbf{x})}{g(\mathbf{x})}, \; g(\mathbf{x}) \neq 0 \; \forall \mathbf{x} \in D \]
Olgu $f = f(u_1,...,u_m)$ $m$-muutuja funktsioon määramispiirkonnaga $D$, kus argumendid $u_1,...,u_m$ on omakorda $n$-muutuja funktsioonid
$u_1 = g_1(x_1,...,x_n), \; u_2 = g_2(x_1,...,x_n), . \; . \; . , u_m = g_m (x_1,...,x_n)$.
Olgu funktsioonide $g_1,...,g_m$ ühine määramispiirkond $G$, kus iga $\mathbf{x} \in G$ korral $(g_1(\mathbf{x}),...,g_n(\mathbf{x})) \in D$.
Defineerime $n$-muutuja funktsiooni $h : G \longrightarrow \Bbb{R}$ võrdusega
\[ h(\mathbf{x}) = h(x_1,...,x_m) := f(g_1(\mathbf{x}),...,g_n(\mathbf{x})) = f(g_1(x_1,...,x_m),...,g_n(x_1,...,x_m)) \]
Saadud funktsiooni $h$ nimetatakse funktsioonide $f,g_1,...,g_n$ kompositsiooniks ehk liitfunktsiooniks.
Piirväärtus ja pidevus
Olgu $f$ mingi $m$-muutuja funktsioon määramispiirkonnaga $D \subset \Bbb{R}^m, \; f: D \longrightarrow \Bbb{R}$ ning olgu $\mathbf{a} = (a_1,...,a_m)$
hulga $D$ kuhjumispunkt, s.t punkti $\mathbf{a}$ iga ümbrust, millest on välja jäetud punkt $\mathbf{a}$ ise, lõikab määramispiirkonda $D$
s.t $\forall \delta \gt 0 : (U_{\delta}(\mathbf{a})\ \{ \mathbf{a} \}) \cap D \neq \emptyset$. Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtus punkts $\mathbf{a}$:
\[ \lim_{\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{a}}f(\mathbf{x}) = b \Leftrightarrow \forall \varepsilon \gt 0 \exists \delta \gt 0 : [0 \lt \Vert \mathbf{x}-\mathbf{a} \Vert \lt \delta, \; \mathbf{x} \in D] \Rightarrow |f(\mathbf{x})-b| \lt \varepsilon \]
Lõpmatu piirväärtus
\[ \lim_{\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{a}} f(\mathbf{x}) = \pm \infty \Leftrightarrow \forall M \gt 0 \exists \delta \gt 0 : [0 \lt \Vert \mathbf{x}-\mathbf{a} \Vert \lt \delta, \; X \in D] \Rightarrow f(\mathbf{x}) \gt M (\lt -M) \]
Piirväärtus protsessis $\Vert \mathbf{x} \Vert \rightarrow \infty$
\[ \lim_{\Vert \mathbf{x} \Vert \rightarrow \infty}f(\mathbf{x}) = b \Leftrightarrow \forall \varepsilon \gt 0 \exists K \gt 0 : [ \Vert \mathbf{x} \Vert \ge K, \; \mathbf{x} \in D] \Rightarrow |f(\mathbf{x})-b| \lt \varepsilon \]
Öeldakse, et $f : D \subset \mathbb{R}^n \longrightarrow \Bbb{R}$ on pidev oma määramispiirkonna kuhjumispunktis $\mathbf{a} \in D$, kui
\[ \lim_{X \rightarrow A}f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) \]
s.t
\[ \forall \varepsilon \gt 0 \exists \delta \gt 0 : [ \Vert \mathbf{x}-\mathbf{a} \Vert \lt \delta, \; \mathbf{x} \in D ] \Rightarrow |f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{a})| \lt \varepsilon \]
Kui $f$ ja $g$ on pidevad punktis $A \in D$, siis $f+g, \; f-1, \; fg, \; \frac{f}{g}$ on pidevad punktis $\mathbf{a}$.
Kui funktsiooni $\varphi_1,...,\varphi_l$ on pidevad punktis $A = (a_1,...,a_m) \in D$ ja funktsioon $f$ on pidev punktis $B := (\varphi_1(A),...,\varphi_l(A))$,
siis kompositsioon $F$ on pidev punktis $A$.
Weierstrassi teoreemi kohaselt on
iga kinnises tõkestatud hulgas $D \subset \Bbb{R}^n$ pidev $n$ muutuja funktsioon $f$ on selles hulgas tõkestatud, kusjuures
funktsioon $f$ saavutab selles hulgas oma suurima ja vähima väärtuse.
Bolzano-Cauchy teoreemi kohaselt saavutab sidusas kinnises tõkestatud hulgas $D \subset \Bbb{R}^m$ pidev funktsioon $f$
iga väärtuse $b$ oma vähima ja suurima väärtuse vahel, millest järelduvalt kui leiduvad punktid $A,B \in D$ nii, et $f(A) \lt 0$ ja $f(B) \gt 0$.
siis leidub punkt $C \in D$ nii, et $f(C) = 0$.
Osatuletis
Kui kahemuutuja funktsioonis $f(x,y)$ fikseerida muutuja $y = b$, saame defineerida ühemuutuja funktsiooni $f_y(x) := f(x,b)$.
Sarnaselt, kui funktsioonis $f(x,y)$ fikseerida muutuja $x = a$, saame defineerida ühemuutuja funktsiooni $f_x(y) := f(a,y)$.
Kahemuutuja funktsiooni $f(x,y)$ osatuletiseks muutuja $x$ ja $y$ järgi punktis $(a,b)$ nimetatakse vastavalt piirväärtuseid
\[ \frac{\partial f}{\partial x}(a,b) := \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h, b) - f(a,b)}{h} \; \; \text{ ja } \; \;
\frac{\partial f}{\partial y}(a,b) := \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a, b+h) - f(a,b)}{h}, \]
s.t funktsiooni $f(x,y)$ osatuletis muutuja $x$ järgi on vastava ühemuutuja funktsiooni $f_y(x)$ tuletis punktis $a$ ning
osatuletis muutuja $y$ järgi on vastava ühemuutuja funktsiooni $f_x(y)$ tuletis punktis $b$.
0.80
0.50
Vaade
Kui kahemuutuja funktsiooni $f(x,y)$ korral arvutada tema osatuletised selle funktsiooni määramispiirkonna $D$ igas punktis
$(x,y) \in D$, saame uued kahemuutuja funktsioonid $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ ja $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$,
kusjuures ka nendel funktsioonidel võivad leiduda osatuletised muutujate $x$ ja $y$ järgi:
\[ \frac{\partial f}{\partial x} \Big( \frac{\partial f}{\partial x} \Big) := \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \; \; \; \;
\frac{\partial f}{\partial y} \Big( \frac{\partial f}{\partial y} \Big) := \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
\]
\[ \frac{\partial f}{\partial y} \Big( \frac{\partial f}{\partial x} \Big) := \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}, \; \; \; \;
\frac{\partial f}{\partial x} \Big( \frac{\partial f}{\partial y} \Big) := \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \]
Saadud funktsioone nimetatakse funktsiooni $f$ teist järku osatuletisteks, kusjuures osatuletisi $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ ja
$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ nimetatakse segaosatuletisteks.
Schwarzi teoreem segaosatuletistest.
Olgu $(x,y)$ kahemuutuja funktsiooni määramispiirkonna sisepunkt ning olgu selle punkti ümbruses määratud osatuletised
$\frac{\partial f}{\partial x}, \; \frac{\partial f}{\partial y}, \; \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}, \; \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$.
Kui osatuletised $\frac{\partial f}{\partial x}, \; \frac{\partial f}{\partial y}$ on punktis $(x,y)$ diferentseeruvad või
segaosatuletised $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ ja $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ on punktis $(a,b)$ pidevad, siis
\[ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \]
Üldiselt, kui $n$-muutuja funktsiooni kõik osatuletised on määratud punkti $\mathbf{x} \in D \subset \mathbb{R}^n$ mingis ümbruses ja diferentseeruvad punktis $\mathbf{x}$, siis segaosatuletis ei sõltu diferentseerimise järjekorrast.
Tuletis antud suunas
Kahemuutuja funktsiooni $f(x,y)$ osatuletiste üldistusena võib vaadelda selle funktsiooni tuletist mitte ainult $x$- ja $y$-telje sihis,
vaid ükskõik mis $xy$-tasandil antud joone sihis. Selleks defineerime suunavektori $\vec{s} := (s_1,s_2)$. Siis punkti $\mathbf{a} = (a,b)$
läbivat suunavektoriga $\vec{s}$ samasihilisel sirgel asuvad punktid on määratud vektorvõrrandiga
\[ \mathbf{x} = (a+ts_1, b+ts_2) = \mathbf{a} + t\vec{s} \]
Funktsiooni $f(x,y)$ tuletiseks punktis $(a,b)$ suunas $\vec{s}$ nimetatakse piirväärtust
\[ \frac{\partial f}{\partial \vec{s}} (a,b) := \lim_{t \rightarrow 0}\frac{f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{a})}{t ||\vec{s}||} \]
Kahemuutuja funktsiooni $f(x,y)$ gradiendiks punktis $\mathbf{a} = (a,b)$ nimetatakse kahemõõtmelist vektorit
\[\nabla f(\mathbf{a}) := \Big( \frac{\partial f}{\partial x}(\mathbf{a}), \frac{\partial f}{\partial y}(\mathbf{a}) \Big) \]
Funktsiooni $f(x,y)$ gradient ja tuletis suunas $\vec{s}$ on punktis $\mathbf{a} = (a,b)$ omavahel seotud võrdusega
\[ \frac{\partial f}{\partial \vec{s}}(\mathbf{a}) = \nabla f(\mathbf{a}) \cdot \vec{s} =
\Vert \nabla f(\mathbf{a}) \Vert \Vert \vec{s} \Vert \cos \varphi, \]
kus $\varphi$ on nurk vektorite $\nabla f(\mathbf{a})$ ja $\vec{s}$ vahel.
Suunatud tuletise $\frac{\partial f}{\partial \vec{s}}(\mathbf{a})$ väärtus on maksimaalne parajasti siis, kui $\varphi = 0$
ning minimaalne siis, kui $\vec{s}$ ja $\nabla f(\mathbf{a})$ on vastassuunalised.
Juhul $\vec{s} = \nabla f(\mathbf{a})$ kehtib võrdus $\frac{\partial f}{\partial \vec{s}}(\mathbf{a}) = \Vert \nabla f(\mathbf{a}) \Vert$.
$\nabla f(\mathbf{a})$ määrab sunna, mille suhtes punktis $\mathbf{a}$ võetud tuletis on maksimaalne, kusjuures selle väärtuseks on gradiendi pikkus.
Mitmemuutuja funktsiooni diferentseeruvus
Funktsiooni $f$ nimetatakse diferentseeruvaks punktis $\mathbf{A}$, kui leidub lineaarkujutus $df_{\mathbf{A}}$, mille korral
\[f(\mathbf{A} + \mathbf{h}) = f(\mathbf{A}) + df_{\mathbf{A}}(\mathbf{h}) + \varepsilon(\mathbf{h}),\]
kus vealiige $\varepsilon(\mathbf{h}) = o(||\mathbf{h}||)$, mis tähendab, et funktsioon $f$ on lineariseeritav punktis $\mathbf{A}$.
Sellisel juhul kehtib piirväärtus
\[ \lim_{\mathbf{X} \rightarrow \mathbf{A}} \frac{|| f(\mathbf{X} - \mathbf{A} - df_{\mathbf{A}}(\mathbf{X} - \mathbf{A})) ||}{|| \mathbf{X} - \mathbf{A} ||} = 0 \]
Lineaarkujutust $df_{\mathbf{A}}$ nimetatakse täisdiferentsiaaliks ning skalaafunktsiooni $f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ korral kirjeldab
see kujutus funktsiooni $f$ puutujatasandit punktis $\mathbf{A}$. Kuna $\mathbf{X} = \mathbf{A} + \mathbf{h}$, saame tasandi võrrandiks
$f(\mathbf{X}) = f(\mathbf{A}) + df_{\mathbf{A}}(\mathbf{h}) + \varepsilon(\mathbf{h})$, millest $\mathbf{X} \rightarrow \mathbf{A}$ korral
$f(\mathbf{X}) = f(\mathbf{A}) + df_{\mathbf{A}}(\mathbf{h})$. Tähistades $df_{\mathbf{A}}(\mathbf{h}) = M h_1 + N h_2$, saab täisdiferentsiaali
lineariseerida tema mõlema argumendi järgi vastavate osatuletistega $\frac{\partial f}{\partial x}(\mathbf{A})$ ja $\frac{\partial f}{\partial y}(\mathbf{A})$,
saades
\[ f(\mathbf{A} + \mathbf{h}) - f(\mathbf{A}) \approx \frac{\partial f}{\partial x}(\mathbf{A}) h_1 + \frac{\partial f}{\partial y}(\mathbf{A}) h_2 + \varepsilon(\mathbf{h}) \]
Punktis $X = (x,y,z)$ võetud pinna puutujatasandi võrrand
\[ Z-z = \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)(X-x) + \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)(Y-y), \]
kus $X,Y,Z$ on puutujatasandi suvalise punkti koordinaadid.
m muutuja funktsiooni $f$ täisdiferentsiaal punktis $A$
\[ \text{d}_{A}f(h_1,...,h_m) = \text{d}f = \frac{\partial f}{\partial x_1}(A)h_1 + ... + \frac{\partial f}{\partial x_m}(A)h_m =
\frac{\partial f}{\partial x_1}(A)\text{d}x_1 + ... + \frac{\partial f}{\partial x_m}(A)\text{d}x_m\]
Funktsiooni $f$ täisdiferentsiaal $df_{\mathbf{A}}(\mathbf{h})$ kirjeldab funktsiooni graafikule punktis $(a,b,f(a,b))$ võetud
puutujatasandi aplikaadi muutu, mis vastab argumendi muudule $\mathbf{h} = (h_1,h_2)$.
Osatulestiste olemasolu ei garanteeri funktsiooni pidevust ega diferentseeruvust.
Punktis $A$ diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev.
Kui funktsioonil $f$ eksisteerivad määramispiirkonna $D$ sisepunkti $A = (a_1,a_2)$ mingis ümbruses $U_{\delta}(A)$ osatuletised $\frac{\partial f}{\partial x}$ ja
$\frac{\partial f}{\partial y}$ ning need on punktis $A$ pidevad, siis $f$ on punktis $A$ diferentseeruv.
Osatuletiste pidevus ei ole tarvilik tingimust funktsiooni diferentseeruvuseks, s.t $f$ võib olla punktis $A$ diferentseeruv, kuid osatuletised ei pea olema pidevad.
Kui punktil $A$ leidub ümbrus, milles eksisteerivad kõik $n$-järku osatuletised $\frac{\partial^n f}{\partial x^n}, \; ... , \; \frac{\partial^n f}{\partial y^n}$,
kusjuures need osatuletised on kõik diferentseeruvad punktis $A$, siis öeldakse, et funktsioon $f$ on $n+1$ korda diferentseeruv punktis $A$.
Kui funktsioonil $f : D \longrightarrow \Bbb{R}$, kus $D \subset \Bbb{R}^m$ on hulgas $D$ pidevad osatuletised
$\frac{\partial f}{\partial x_1}, ... , \frac{\partial f}{\partial x_m}$, siis öeldakse, et funktsioon $f$ on piirkonnas $D$ pidevalt diferentseeruv.
Funktsioonise diferentseeruvuse nõuet ei saa asendada lõplike osatuletiste nõudega.
Funktsiooni $f$ teist järki täisdiferentsiaal
\[ \text{d}^2 f(X) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(X) \text{d}x^2 + 2 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(X) \text{d}x \, \text{d}y +
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(X) \text{d}y^2 \]
Funktsiooni $f$ $n$-ndat järku täisdiferentsiaal
\[ \text{d}^n f(X) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{\partial^n f}{\partial x^{n-k} \partial y^n}(X) \text{d}x^{n-k} \, \text{d}y^k := \Big( \Big( \frac{\partial}{\partial x} \text{d}x + \frac{\partial}{\partial y}\text{d}y \Big)^n f \Big)(X) \]
Liitfunktsiooni osatuletised.
Kui funktsioonidel $u = \varphi_1$ ja $v = \varphi_a$ eksisteerivad punktis $A = (a_1,a_2)$ lõplikud osatuletised $\frac{\partial \varphi_1}{\partial x}(A)$ ja
$\frac{\partial \varphi_2}{\partial x}(A)$ ning funktsioon $f$ on punktis $B := (\varphi_1(A), \varphi_2(A))$ diferentseeruv, siis liitfunktsioonil $F$
on punktis $A$ osatuletis
\[ \frac{\partial F}{\partial x}(A) = \frac{\partial f}{\partial u}(B) \cdot \frac{\partial \varphi_1}{\partial x}(A) + \frac{\partial f}{\partial v}(B) \cdot \frac{\partial \varphi_2}{\partial x}(A) \]
Liitfunktsiooni täisdiferentsiaal.
Olgu $F$ kahe muutuja liitfunktsioon. Eeldame, et funktsioonid $\varphi_1$ ja $\varphi_2$ on punktis $A \in D$ ja funktsioon $f$ on punktis
$B := (\varphi_1(A),\varphi_2(a))$ diferentseeruvad. Siis liitfunktsioon $F$ on punktis $A$ diferentseeruv ning
\[ \text{d}_A F = \frac{\partial F}{\partial x}(A) \text{d}x + \frac{\partial F}{\partial y} \text{d} =
\frac{\partial f}{\partial u}(B) \text{d}_A \varphi_1 + \frac{\partial f}{\partial v}(B) \text{d}_A \varphi_2 =
\frac{\partial f}{\partial u}\text{d}u + \frac{\partial f}{\partial v}\text{d}v \]
Liitfunktsiooni $F$ teist järku täisdiferentsiaal
\[ \text{d}^2 F = \text{d}^2 f + \frac{\partial f}{\partial u} \text{d}^2 u + \frac{\partial f}{\partial v} \text{d}^2 v \]
m-muutuja funktsiooni Taylori valem.
Olgu $m$ muutuja funktsioon $w = f(x_1,...,x_m)$ määratud punkti $A = (a_1,...,a_m)$ ümbruses $U_{\delta}(A)$ ning punktis $A$ $n$ korda diferentseeruv.
Siis suvalise $h = (h_1,...,h_m)$ korral, kui $A+h \in U_{\delta}(A)$, leidub $\theta \in (0,1)$ nii, et
\[ f(A+h) = f(A) + \text{d}_A f(h) + \frac{1}{2!} \text{d}_{A}^{2}f(h) + ... + \frac{1}{n!} \text{d}_{A}^{n}f(h) + \frac{1}{(n+1)!} \text{d}_{A + \theta h}^{n+1} f(h), \]
m muutuja funktsioon Taylori valem, kus $\alpha_n := \frac{1}{(n+1)!} \text{d}_{A + \theta h}^{n+1} f(h)$ on jääkliige,
mille korral $\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\alpha_n}{||h||^n} = 0$ ($n$-ndat järku lõpmata väike suurus).
Keskväärtusteoreem.
Tähistame $h := (h_1,h_2)$. Olgu funktsioon $f$ pidev punktides $A$ ja $A + h$ ning diferentseeruv neid punkte ühendavas sirglõigus $[A,A+h]$.
Siis leidub selline punkt $C \in (A,A+h)$, et
\[ f(A+h) - f(A) = \frac{\partial f}{\partial x}(C)h_1 + \frac{\partial f}{\partial y}(C)h_2 = (\text{d}_C f)(h) \]
Mitmemuutuja funktsioonide integreerimine
Mitmemuutuja funktsioonide integraalid defineeritakse sõltuvalt funktsiooni määramis- ja integreerimispiirkonnast. Ruumis määratud joone korral defineeritakse
joonintegraal. Ühemuutuja funktsiooni määratud integraal on erijuht üldisest joonintegraalist, kus integreerimisjoonetks on $x$ või $y$ telg. $xy$ tasandil
defineeritud kahemuutuja funktsiooni integraaliks nimetatakse kahekordset integraali, ning selle üldistusena defineeritakse ruumis paikneval
pinnal defineeritud funktsiooni pindintegraal. Ruumiosas määratud funktsiooni korral defineeritakse ruumintegraal.
Joonintegraal
Olgu igale arvule $t$ intervallist $I \subset \Bbb{R}$ vastavusse seatud ruumi $\Bbb{R}^m$ punkt $(\varphi_1(t),...,\varphi_m(t))$. Kujutust
\[ \gamma : I \longrightarrow \Bbb{R}^m, \; \; t \mapsto (\varphi_1(t),...,\varphi_m(t)) \]
nimetatakse reaalse argumentida (parameetriga) vektorfunktsiooniks, punktide hulka $\gamma (I) = \{ (\varphi_1(t),...,\varphi_m(t)) | t \in I \}$
nimetatakse (vektorfunktsiooniga $\gamma$ määratud) jooneks ruumis $\Bbb{R}^m$. Ruumis $\mathbb{R}^m$ esitatakse jooni tavaliselt parameetriliste
võrranditega $x_i = \varphi_i(t), \; i = 1,2,...,n, \; \; t \in I$.
Parameetriliselt esitatud joont $\gamma (I) = \{ (\varphi_1(t),...,\varphi_m(t)) | t \in I \}$ nimetatakse
pidevaks, kui kõik koordinaatfunktsioonid $\varphi_1, ..., \varphi_m$ on pidevad intervallis $I$. Kui lisaks pidevusele on
funktsioonid $\varphi_1, ... , \varphi_m$ intervallis $I$ pidevalt diferentseeruvad ja tuletised $\varphi_{1}^{'}(t),...,\varphi_{m}^{'}(t)$
ei ole korraga nullid selle intervalli üheski punktis $t$, siis seda joont nimetatakse siledaks. Kui $I$ on lõik, siis nimetatakse
seda joont kaareks.
Kui $\gamma$ on üksühene, s.t puuduvad kordsed punktid, ehk $\gamma(t_1) = \gamma(t_2)$, kus $t_1 \neq t_2$, siis joont nimetatakse lihtsaks.
Kui $I$ on lõik $[\alpha,\beta]$ ja $\gamma(\alpha) = \gamma(\beta)$, siis joont nimetatakse kinniseks.
Enamus praktikas tähtsust omavaid jooni on esitatavad lihtsate kaarte lõplike ühendina.
Olgu tasandil antud pidev lihtne kaar $L = AB$ võrranditega $x = \varphi_1(t), \; y = \varphi_2(t), \; \; t \in [\alpha,\beta]$,
kus $A = (\varphi_1(\alpha), \varphi_2(\alpha))$ ja $B = (\varphi_1(\beta), \varphi_2(\beta))$.
Kaare $AB$ pikkus defineeritakse kui
\[ |AB| := \lim_{\lambda(T) \rightarrow 0}p(T), \]
kus $\lambda(T)$ on intervalli $[\alpha,\beta]$ alajaotuse $T[t_0,...,t_n]$ osalõikude pikkuste maksimaalne väärtus, s.t $\lambda(T) := \max_{1 \leq i \leq n}(t_i-t_{i-1})$
ning $p(T)$ on kõõlmurdjoone $\pi = X_0 X_1 ... X_{n-1}X_n$ pikkus, kus $X_0 = (\varphi_1(t_0),\varphi_2(t_0)), ... , X_n = (\varphi_1(t_n),\varphi_2(t_n))$.
Kui kaarel on lõplik pikkus, siis nimetatakse teda sirgestuvaks. Lihtne kaar on sirgestuv parajasti siis, kui tema kõõlmurdjoonte pikkused on tõkestatud.
Iga tükiti siledal joonel on lõplik pikkus.
Olgu lihtne kaar $AB$ antud võrranditega $x = \varphi_1(t), \; \; y = \varphi_2(t) \; \; \; (t \in [\alpha,\beta])$,
kus $\varphi_1$ ja $\varphi_2$ on lõigus $[\alpha,\beta]$ pidevalt diferentseeruvad.
Siis joon $AB$ on sirgestuv ning iga $t \in [\alpha,\beta]$ korral eksisteerib $s(t) := |AX|, \text{ kus } X = (\varphi_1(t), \varphi_2(t))$,
Seejuures funktsioon $s:[\alpha,\beta] \longrightarrow \Bbb{R}$ on diferentseeruv ja
\[ s'(t) = \sqrt{\varphi_{1}^{'}(t)^2 + \varphi_{2}^{'}(t)^2} \]
Olgu lihtsal sirgestuval joonel $L = AB$ määratud funktsioon $w = f(x,y)$.
Funktsiooni $f$ esimest liiki joonintegraaliks nimetatakse piirväärtust
\[ \int_{L}f(x,y)\text{d}s := \lim_{\lambda(T)\rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(Q_i)s_i, \]
kus $\lambda(T)$ on intervalli $I = [\alpha,\beta]$ alajaotuse $T[t_0,...,t_n]$ diameeter, s.t $\lambda(T) := \max_{1 \leq i \leq n}(t_1-t_{i-1})$,
$s_i := |X_{i-1}X_i|$ on kaare $X_{i-1}X_i$ pikkus ($X_i = (\varphi_1(t_i),\varphi_2(t_i))$) ning $Q_i := (\varphi_1(\tau_i), \varphi_2(\tau_i)), \; \;$
$\tau_i \in [t_{i-1},t_i]$ on suvaline punkt osakaarel $X_{i-1}X_i$.
Skalaarne väli f(x, y)
0%
Olgu lihtsal joonel $L = AB$ määratud funktsioon $w = f(x,y)$.
Funktsiooni $f$ teist liiki joonintegraalideks nimetatakse piirväärtusi
\[ \int_{L}f(x,y)\text{d}x := \lim_{\lambda(T)\rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(Q_i)\Delta x_i \]
\[ \int_{L}f(x,y)\text{d}y := \lim_{\lambda(T)\rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(Q_i)\Delta y_i, \]
Olgu võrranditega $x = \varphi_1(t), \; \; y = \varphi_2(t), \; \; \; (t \in [\alpha,\beta])$ antud sile joon $L := AB$, millel on määratud pidev
funktsioon $w = f(x,y)$. Siis eksisteerib esimest liiki joonintegraal $\int_{L}f \text{d}s$ ja
\[ \int_{L}f \text{d}s = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi_1(t),\varphi_2(t)) \cdot \sqrt{\varphi_{1}^{'}(t)^2 + \varphi_{2}^{'}(t)^2} \text{d}t \]
kus $\lambda(T)$ on intervalli $I = [\alpha,\beta]$ alajaotuse $T[t_0,...,t_n]$ diameeter, s.t $\lambda(T) := \max_{1 \leq i \leq n}(t_1-t_{i-1})$,
$Q_i := (\varphi_1(\tau_i), \varphi_2(\tau_i)), \; \; \tau_i \in [t_{i-1},t_i]$ on suvaline punkt osakaarel $X_{i-1}X_i$ ning
$\Delta x_i = \varphi_1(t_i)-\varphi_1(t_{i-1})$ ja $\Delta y_i = \varphi_2(t_i)-\varphi_2(t_{i-1})$ on osakaarte $X_{i-1}X_i$ projektsioonide pikkused
vastavalt $x$-teljele ja $y$-teljele.
Olgu võrranditega $x = \varphi_1(t), \; \; y = \varphi_2(t), \; \; \; (t \in [\alpha,\beta])$ antud sile joon $L := AB$, millel on määratud pidev
funktsioon $w = f(x,y)$. Siis eksisteerivad teist liiki joonintegraalid $\int_{L}f \text{d}x$ ja $\int_{L}f \text{d}y$ ning
\[ \int_{L}f\text{d}x = \int_{\alpha}^{\beta}f(\varphi_1(t),\varphi_2(t)) \cdot \varphi_{1}^{'} \text{d}t \]
\[ \int_{L}f\text{d}y = \int_{\alpha}^{\beta}f(\varphi_1(t),\varphi_2(t)) \cdot \varphi_{2}^{'} \text{d}t \]
Tavaliselt esineb rakendutest teist liiki integraalide summa
\[ \int_{L}F \text{d}x + G \text{d}y := \int_{L}F \text{d}x + \int_{L}G \text{d}x \]
Kahekordne integraal
Olgu $R := [a,b] \times [c,d]$ ristkülik tasandil $\Bbb{R}^2$ ning olgu $f : R \longrightarrow \Bbb{R}$ sellel ristkülikul määratud funktsioon.
Funktsiooni $f$ kahekordseks Riemanni integraaliks üle ristküliku $R$ nimetatakse piirväärtust
\[ \iint_{R}f(x,y) \text{d}x \text{d}y := \lim_{m,n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} f(\xi_i,\eta_j) \Delta x_i \Delta y_j, \]
kus $m$ ja $n$ on vastavalt lõikude $[a,b]$ ja $[c,d]$ jaotuspunktide arvud, $\Delta x_i \Delta y_j = (x_i - x_{i-1})(y_j - y_{j-1})$
on osaristküliku $R_{ij} = [x_{i-1},x_i] \times [y_{j-1},y_j]$ pindala ning $f(\xi_i,\eta_j)$ on funktsiooni $f$ väärtus osaristküliku
$R_{ij}$ suvalises punktis $(\xi_i,\eta_j) \in R_{ij}$.
Kui see piirväärtus eksisteerib, siis $f$ on Riemanni mõttes integreeruv.
10
Vaade
Tõkestatud hulgas $D \subset \Bbb{R}^2$ määratud funktsiooni $f$ kahekordne integraal defineeritakse kui selle funktsiooni kahekordne integraal hulka $D$
sisaldavas funktsiooni $f$ määramispiirkonna laiendis $R$, mille puhul $f(X) = 0$ igal $X \in R \setminus D$ korral.
Kolmekordne integraal
Olgu $R := [a,b] \times [c,d] \times [e,f]$ risttahukas ruumis $\Bbb{R}^3$.
Funktsiooni $f : R \longrightarrow \Bbb{R}$ kolmekordseks Riemanni integraaliks üle risttahuka $R$ nimetatakse piirväärtust
\[ \iiint_{R}f(x,y,z) \text{d}x \text{d}y \text{d}z := \lim_{l,m,n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} \sum_{k=1}^{n} f(\xi_i,\eta_k,\psi_k) \Delta x_i \Delta y_j \Delta z_k, \]
kus $l$,$m$ ja $n$ on vastavalt lõikude $[a,b]$, $[c,d]$ ja $[e,f]$ jaotuspunktide arvud,
$\Delta x_i \Delta y_j \Delta z_k = (x_i - x_{i-1})(y_j - y_{j-1})(z_k - z_{k-1})$
on osaristküliku $R_{ijk} = [x_{i-1},x_i] \times [y_{j-1},y_j] \times [z_{k-1},z_k]$ ruumala ning $f(\xi_i,\eta_j,\psi_k)$ on funktsiooni $f$ väärtus osaristttahuka
$R_{ijk}$ suvalises punktis $(\xi_i,\eta_j, \psi_k) \in R_{ijk}$.
Kui see piirväärtus eksisteerib, siis $f$ on Riemanni mõttes integreeruv.
Tõkestatud hulgas $D \subset \Bbb{R}^3$ määratud funktsiooni $f$ kolmekordne integraal defineeritakse kui selle funktsiooni kolmekordne integraal hulka $D$
sisaldavas funktsiooni $f$ määramispiirkonna laiendis $R$ (risttahukas), mille puhul $f(X) = 0$ igal $X \in R \setminus D$ korral.
Pindintegraal
Vaatleme ruumis $\mathbb{R}^3$ pinda $S$, mis on antud parameetriliste võrranditega
\[ x = x(s,t), \; \; y = y(s,t), \; \; z = z(s,t) \]
Funktsiooni $f(x,y,z)$ pindintegraaliks nimetatakse väärtust
\[ \iint_S f(x,y,z) \text{d}S = \iint_S f(\mathbf{x}(s,t)) \Big| \Big| \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial s} \times \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t} \Big| \Big| \, \text{d}s \, \text{d}t \]
Pind z = f(x, y) ruumis: normaalvektorid n (pindalaelemendi suund) ja vektorväli F pinna punktides — pindintegraali ∫∫ F · dS visualiseerimine.
Pinda $\Omega$ ruumis $\Bbb{R}^3$ esitame järgnevas parameetriliste võrranditega
\[ x = \varphi(u,v), \; \; y = \psi(u,v), \; \; z = \chi(u,v) \; \; \; (U = (u,v) \in \Delta) \]
kus $\Delta$ on ühelisidus piirkond $uv$-tasandil. Seejuures eeldame, et hulkade
1. $\Delta$ ja $\Omega$ vahel on bijektiivne vastavus
2. nii piirkond $\Delta$ kui ka pinnatükk $\Omega$ on tõkestatud $\Bbb{R}^2$-s ja $\Bbb{R}^3$-s.
Edasi eeldame, et funktsioonidel $\varphi, \; \psi$ ja $\chi$ on hulgas $\Delta$ pidevad osatuletised mõlema argumendi järgi.
Kui pinna $\Omega$ punkti $X_0 = (x_0,y_0,z_0)$ puhul, mis vastab piirkonna $\Delta$ punktile $U_0 = (u_0,v_0) \; \; \; (X_0 = (\varphi(u_0,v_0), \psi(u_0,v_0), \chi(u_0,v_0))),$
kõik teist järku determinandid
\[ A(U_0) = \begin{vmatrix}
\frac{\partial \psi (U_0)}{\partial u} & \frac{\partial \chi (U_0)}{\partial u} \\
\frac{\partial \psi (U_0)}{\partial v} & \frac{\partial \chi (U_0)}{\partial v}
\end{vmatrix}, \; \; \;
B(U_0) = \begin{vmatrix}
\frac{\partial \chi (U_0)}{\partial u} & \frac{\partial \varphi (U_0)}{\partial u} \\
\frac{\partial \chi (U_0)}{\partial v} & \frac{\partial \varphi (U_0)}{\partial v}
\end{vmatrix}, \; \; \;
C(U_0) = \begin{vmatrix}
\frac{\partial \varphi (U_0)}{\partial u} & \frac{\partial \psi (U_0)}{\partial u} \\
\frac{\partial \varphi (U_0)}{\partial v} & \frac{\partial \psi (U_0)}{\partial v}
\end{vmatrix} \]
ei ole korraga nullid, siis ütleme, et $X_0$ on pinna harilik punkt.
Kui $A(U_0) = B(U_0) = C(U_0) = 0$, siis $X_0$ on pinna iseärane punkt.
Parameetrilise võrranditega määratud pinda $\Omega$ nimetatakse siledaks, kui funktsioonidel $\varphi, \; \psi$ ja $\chi$ on hulgas $\Delta$ pidevad osatuletised
mõlema argumendi järgi ja punnal ei ole iseäraseid punkte.
Olgu $X_0 = (x_0,y_0,z_0)$ pinna $\Omega$ harilik punkt.
Pinna $\Omega$ puutujatasandi võrrand punktis $X_0$
\[ A(X-x_0)+ B(Y-y_0) + C(Z-z_0) = 0, \]
kus $A = A(U_0), \; \; B = B(U_0), \; \; C = C(U_0)$. Pinda, kus mistahes (pinna rajajoont mittelõikava) kinnise joone läbimisel normaali suund ei muutu,
nimetatakse kahe poole pinnaks, teisi pindu aga ühe poole pinnaks.
Pinntüki $\Omega$ pindalaks nimetatakse piirväärtust
\[ \mu(\Omega) := \lim_{\lambda(\tilde{T}) \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n}\mu(\Omega_{i}^{'}), \]
kus $\lambda(\tidle{T})$ on pinna $\Omega$ määramispiirkonna $\Delta$ alajaotuse $\tilde{T} = \tilde{T}[\Delta_1, ..., \Delta_n]$ diameeter, s.t
$\lambda(\tilde{T}) := \sup_{\Delta_i \in \tilde{T}, \; Q,Q' \in \Delta_i} \Vert Q-Q' \Vert$ ning $\mu(\Omega_{i}^{'})$ on pinnatüki $\Omega_i := f(\Delta_i)$
suvalises punktis võetud puutujatasandile projekteeritud $\Omega_i$ projektsiooni $\Omega_{i}^{'}$ pindala.
Funktsiooni $w = f(x,y,z)$ esimest liiki pindintegraaliks üle pinna $\Omega$ nimetatakse piirväärtust
\[ \iint_{\Omega} f(x,y,z) \text{d}x \, \text{d}y \, \text{d}z := \lim_{\lambda(\tilde{T}) \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n}f(X_i) \mu(\Omega_i) := \iint_{\Omega}f \text{d}\mu, \]
kus $\lambda(\tilde{T})$ on pinna $\Omega$ määramispiirkonna $\Delta$ alajaotuse $\tilde{T} = \tilde{T}[\Delta_1,...,\Delta_n]$ diameeter, s.t
$\lambda(\tilde{T}) := \sup_{\Delta_i \in \tilde{T}, \; Q,Q' \in \Delta_i} \Vert Q-Q' \Vert$ ning $X_i$ on pinnatüki $\Omega_i$ suvaline punkt ning
$\mu(\Omega_i)$ on pinnatüki $\Omega_i$ pindala.
Funtksiooni $w = f(x,y,z)$ teist liiki pindintegraalideks nimetatakse piirväärtuseid
\[ \iint_{\Omega}f(x,y,z)\text{d}x \, \text{d}y := \lim_{\lambda(\tilde{T}) \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f(X_i) S_{i}^{'} \]
\[ \iint_{\Omega}f(x,y,z)\text{d}y \, \text{d}z := \lim_{\lambda(\tilde{T}) \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f(X_i) S_{i}^{''} \]
\[ \iint_{\Omega}f(x,y,z)\text{d}z \, \text{d}x := \lim_{\lambda(\tilde{T}) \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f(X_i) S_{i}^{'''}, \]
kus $S_{i}^{'}, \; S_{i}^{''}$ ja $S_{i}^{'''}$ on vastavalt pinnatüki $\Omega_i$ projektsioonide $\Omega_{i}^{'}, \; \Omega_{i}^{''}, \; \Omega_{i}^{'''}$
(vastavalt $xy, \; yz$ ja $zx$-tasanditele) pindalad:
\[ S_{i}^{'} = \iint_{\Delta_i}C \, \text{d}u \, \text{d}v, \; \; \; S_{i}^{''} = \iint_{\Delta_i}A \, \text{d}u \, \text{d}v, \; \; \; S_{i}^{'''} = \iint_{\Delta_i}B \, \text{d}u \, \text{d}v \]
Teoreemid
Iga sile kordsete punktideda punkt $\Omega$ on kahe poolega.
Olgu $\Omega$ sile pind ja olgu $\alpha, \; \beta, \; \gamma$ nurgad, mille moodustab pinna normaal punktis $X$ vastavalt $x-,y-$ ja $z-$teljega. Siis
\[ \cos \alpha = \frac{A}{\pm \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}, \; \; \; \cos \beta = \frac{B}{\pm \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}, \; \; \; \cos \gamma = \frac{C}{\pm \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]
Positiivseks pooleks loetakse seda pinna poolt, kus ruutjuur on positiivne.
Pinnatüki $\Omega$ pindala saaba arvutada valemiga
\[ \mu(\Omega) = \iint_{\Delta} \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \text{d}u \, \text{d}v, \]
kus
\[ A = \begin{vmatrix}
\frac{\partial \psi}{\partial u} & \frac{\partial \chi}{\partial u} \\
\frac{\partial \psi}{\partial v} & \frac{\partial \chi}{\partial v}
\end{vmatrix}, \; \; \;
B = \begin{vmatrix}
\frac{\partial \chi}{\partial u} & \frac{\partial \varphi}{\partial u} \\
\frac{\partial \chi}{\partial v} & \frac{\partial \varphi}{\partial v}
\end{vmatrix}, \; \; \;
C = \begin{vmatrix}
\frac{\partial \varphi}{\partial u} & \frac{\partial \psi}{\partial u} \\
\frac{\partial \varphi}{\partial v} & \frac{\partial \psi}{\partial v}
\end{vmatrix} \]
Pindintegraali arvutamise valem.
Olgu funktsioon $w = f(x,y,z)$ pidev siledal kordsete punktideta pinnal $\Omega$, mis on määratud võrranditega
\[ x = \varphi(u,v), \; \; y = \psi(u,v), \; \; z = \chi(u,v) \; \; \; (U = (u,v) \in \Delta) \]
Sel juhul esimest liiki pindintegraal eksisteerib ning
\[ \iint_{\Omega}f(x,y,z) \text{d}x \, \text{d}y \, \text{d}z = \iint_{\Delta}f(\varphi(u,v),\psi(u,v),\chi(u,v)) \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \text{d}u \, \text{d}v \]
Olgu $\Omega$ sile pind ja olgu kolme muutuja funktsioon $w = f(x,y,z)$ pidev pinnal $\Omega$. Siis
\[ \iint_{\Omega}f(x,y,z) \text{d}x \, \text{d}y = \iint_{\Delta}\Phi(u,v) C \, \text{d}u \, \text{d}v \]
\[ \iint_{\Omega}f(x,y,z) \text{d}y \, \text{d}z = \iint_{\Delta}\Phi(u,v) A \, \text{d}u \, \text{d}v \]
\[ \iint_{\Omega}f(x,y,z) \text{d}z \, \text{d}x = \iint_{\Delta}\Phi(u,v) B \, \text{d}u \, \text{d}v, \]
kus $\Phi(u,v) := f(\varphi(u,v),\psi(u,v),\chi(u,v))$.
Tavaliselt vaadeldakse teist liiki pindintegraali kujul
\[ \iint_{\Omega} F \, \text{d}x \, \text{d}y + G \, \text{d}y \, \text{d}z + H \, \text{d}z \, \text{d}x
= \iint_{\Omega} F \, \text{d}x \, \text{d}y + \iint_{\Omega} G \, \text{d}y \, \text{d}z + \iint_{\Omega} H \, \text{d}z \, \text{d}x \]
Intgereerimise üldised omadused
Iga ristkülikus $R$ integreeruv funktsioon $f$ on selles ristkülikus tõkestatud ning iga ristkülikus $R$ pidev funktsioon on selles ristkülikus integreeruv.
Kahekordne integreerimine on lineaarne integreeritavate funktsioonide suhtes, s.t
kui funktsioonid $f : D \longrightarrow \Bbb{R}$ ning $g : D \longrightarrow \Bbb{R}$ on integreeruvad, siis iga $\lambda \in \mathbb{R}$ korral on ka
$f+g : D \longrightarrow \Bbb{R}$ ja $\lambda f : D \longrightarrow \Bbb{R}$ on integreeruv ja
\[ \iint_{D}(f(x,y) + g(x,y)) \text{d}x \, \text{d}y = \iint_{D} f(x,y) \text{d}x \, \text{d}y + \iint_{D} g(x,y) \text{d}x \, \text{d}y \]
\[ \iint_{D} \lambda f(x,y) \text{d}x \, \text{d}y = \lambda \iint_{D} \ f(x,y) \text{d}x \, \text{d}y. \]
Kui funktsioon $f$ on integreeruv nii hulgas $D_1$ kui ka hulgas $D_2$, kusjuures $D_1 \cap D_2 = \emptyset$, siis $f$ on integreeruv hulgas $D_1 \cup D_2$ ning
\[ \iint_{D_1 \cup D_2}f(x,y) \text{d}x \, \text{d}y = \iint_{D_1}f(x,y) \text{d}x \, \text{d}y + \iint_{D_2}f(x,y) \text{d}x \, \text{d}y \]
Kui funktsioonid $f : D \longrightarrow \Bbb{R}$ ning $g : D \longrightarrow \Bbb{R}$ on diferentseeruvad ja $f(X) \leq f(X) \; \; \forall X \in D$, siis
\[ \iint_{D}f(x,y)\text{d}x \, \text{d}y \leq \iint_{D}g(x,y)\text{d}x \, \text{d}y \]
Kui funktsioon $f : D \longrightarrow \Bbb{R}$ on integreeruv, siis ka seosega $|f|(X) := |f(X)|$ määratud funktsioon $|f|: D \longrightarrow \Bbb{R}$ on integreeruv ning
\[ \bigg\lvert \iint_{D}f(x,y) \text{d}x \, \text{d}y \bigg\rvert \leq \iint_{D}|f(x,y)| \text{d}x \, \text{d}y \]
Kui funktsioonid $f : D \longrightarrow \Bbb{R}$ ja $g : D \longrightarrow \Bbb{R}$ on integreeruvad, siis ka nende korrutid $fg : D \longrightarrow \Bbb{R}$ on integreeruv.
Keskväärtusteoreem.
Olgu funktsioonid $f$ ja $g$ integreeruvad kinnises sidusas tõkestatud piirkonnas $D$, olgu $f$ seejuures pidev ja $g$ mittenegatiivne. Siis leidub punkt
$X_0 \in D$ omadusega
\[ \iint_{D} f(x,y) \cdot g(x,y) \text{d}x \, \text{d}y = f(X_0) \cdot \iint_{D}g(x,y) \text{d}x \, \text{d}y \]
Iga risttahukas integreeruv funktsioon on selles hulgas tõkestatud.
Kui funktsioon $f : R \longrightarrow \Bbb{R}$ on risttahukas $R$ pidev, siis ta on selles risttahukas integreeruv.
Tõkestatud funktsioon $f : R \longrightarrow \Bbb{R}$ on risttahukas $R$ integreeruv parajasti siis, kui $\lim_{\lambda(T) \rightarrow 0}(S(T)-s(T)) = 0$.
Olgu integreerimispiirkond $D$ on kõvertrapets, mis on ülalt ja alt piiratud pidevate joontega $y = y_1(x)$ ja $y = y_2(x)$ ning vasakult ja paremalt piiratud sirgetega
$x = a$ ja $a = b$.
Kui funktsioon $w = f(x,y)$ on integreeruv kõvertrapetsis $D$ ja iga $x_0 \in [a,b]$ korral eksisteerib ühekordne integraal
$g_1(x_0) := \int_{y_2(x_0)}^{y_1(x_0)} f(x_0, y) \text{d}y$, siis kehtib valem
\[ \iint_{D} f(x,y) \text{d}x \, \text{d}y = \int_{a}^{b}\text{d}x \int_{y_2(x)}^{y_1(x)} f(x,y) \text{d}y \]
Kui funktsioon $w = f(x,y)$ on integreeruv sellises kõvertrapetsis, mis on ülalt ja alt piiratud sirgetega $y = d$ ja $y = c$ ning külgedelt
pidevate joontega $x = x_1(y)$ ja $x = x_2(y)$ ning iga $y_0 \in [c,d]$ korral eksiteerib ühekordne integraal
$g_2(y_0) := \int_{x_2(y_0)}^{x_1(y_0)} f(x,y_0) \text{d}x$, siis
\[ \iint_{D}f(x,y) \text{d}x \, \text{d}y = \int_{c}^{d} \text{d}y \int_{x_2(y)}^{x_1(y)} f(x,y) \text{d}x \]
Erijuhul, kui $y_1(x) = d$ ja $y_2(x) = c$ või $x_1(y) = b$ ja $x_2(y) = a$ ning iga $x_0 \in [a,b]$ või $y_0 \in [c,d]$ korral eksisteerivad vastavalt
ühekordsed integraalid $g_1(x_0) := \int_{c}^{d}f(x_0,y) \text{d}y$ või $g_2(y_0) := \int_{a}^{b}f(x,y_0)\text{d}x$, saab integreerimispiirkonnaks
$D$ ristkülik $R$ ning vastavad integraalid avalduvad vastavalt valemitest
\[ \iint_{R}f(x,y) \text{d}x \, \text{d}y = \int_{a}^{b} \text{d}x \int_{c}^{d} f(x,y) \text{d}y \]
\[ \iint_{R}f(x,y) \text{d}x \, \text{d}y = \int_{c}^{d} \text{d}y \int_{a}^{b}f(x,y) \text{d}x \]
Olgu $R = [a,b] \times [c,d] \times [u,v]$ risttahukas ning ristkülikud $D_1 = [c,d] \times [u,v]$ ja $D_3 = [a,b] \times [c,d]$ risttahuka $R$ projektsioonid
vastavalt $yz$- ning $xy$-tasandill. Kui funktsioon $w = f(x,y,z)$ on risttahukas $R$ integreeruv, siis kehtivad valemid
\[ \iiint_{R}f(x,y,z) \text{d}x \, \text{d}y \, \text{d}z = \int_{a}^{b} \text{d}x \iint_{D_1}f(x,y,z) \text{d}y \, \text{d}z = \iint_{D_3}f(x,y,z) \text{d}x \, \text{d}y \int_{u}^{v} \text{d}z \]
eeldusel , et kahekordne integraal $\iint_{D_1}f(x,y,z) \text{d}y \, \text{d}z$ eksisteerib iga $x \in [a,b]$ korral ja ühekordne integraal
$\int_{u}^{v}f(x,y,z) \text{d}z$ iga $(x,y) \in D_3$ korral.
Olgu $\Xi$ kahe $x$-teljega ristuva tasandi $x = a$ ja $x = b$ vahel. Eeldame, et hulga $\Xi$ lõikamisel suvalise tasandiga $x = c$, mis on nende
kahe tasandiga paralleelne ja asub nende vahel, tekib kujund, mille projektsioon $D_C$ $yz$-tasandiga on mõõtuv. Siis
\[ \iiint_{\Xi}f(x,y,z) \text{d}x \, \text{d}y \, \text{d}z = \int_{a}^{b} \text{d}x \iint_{D_x} f(x,y,z) \text{d}y \, \text{d}z \]
Olgu hulk $\Xi$ ülalt ja alt piiratud pindadega $z = \varphi(x,y)$ ja $z = \psi(x,y)$, kus $\psi(x,y) \leq \varphi(x,y)$ iga $(x,y) \in D$ korral,
milleks projekteerub $xy$-tasandile kõversilinder $\Xi$. Seejuures eeldatakse, et iga $(x,y) \in D$ korral eksisteerib ühekordne integraal
$\int_{\psi(x,y)}^{\varphi(x,y)}f(x,y,z)\text{d}z$. Siis
\[ \iiint_{\Xi} f(x,y,z) \text{d}x \, \text{d}y \, \text{d}z = \iint_{D}\text{d}x \, \text{d}y \int_{\psi(x,y)}^{\varphi(x,y)}f(x,y,z)\text{d}z \]
Erijuhul, kui $D$ on kõvertrapets, mis on piiratud joontega $x = a, \; \; x = b, \; \; y = \alpha(x)$ ja $y = \beta(x)$, kus $\beta(x) \leq \alpha(x)$ iga $x \in [a,b]$ korral,
saame kolmekordse integraali arvutamise jaoks valemi
\[ \iiint_{\Xi}f(x,y,z) \text{d}x \, \text{d}y \, \text{d}z = \int_{a}^{b} \text{d}x \int_{\beta(x)}^{\alpha(x)} \text{d}y \int_{\psi(x,y)}^{\varphi(x,y)}f(x,y,z) \text{d}z \]
Muutujate vahetus
Muutujate vahetus kahekordses integraalis.
Öeldakse, et sidus hulk $D \subset \Bbb{R}^m$ on ühelisidus, kui iga lihtsa pideva kinnise joone $\gamma \subset D$ korral ka $\gamma$ poolt piiratud
hulk $E$ sisaldub hulgas $D$.
Olgu $uv$-tasandi mingis lahtises ühelisidusas piirkonnas $\mathcal{G}'$ defineeritud funktsioonid
\[ x = \xi(u,v), \; \; y = \eta(u,v), \; \; (U = (u,v) \in \mathcal{G}') \]
Nad seavad igale punktile $U = (u,v) \in \mathcal{G}'$ vastavusse punkti $X = (x,y)$ $xy$-tasandil:
\[ T(u,v) = (\xi(u,v), \eta(u,v)), \; \; U \in \mathcal{G}' \]
Olgu
\[ \mathcal{G} := T(\mathcal{G}') = \{ T(u,v) : (u,v) \in \mathcal{G}' \} = \{ (x,y) : (u,v) \in \mathcal{G} \} \]
Kujutust $T : \mathcal{G}' \longrightarrow \mathcal{G}$ nimetatakse regulaarseks teisenduseks, kui on täidetud tingimused:
1. $T$ on bijektiivne, s.t iga punkti $X = (x,y) \in \mathcal{G}$ puhul leidub täpselt üks punkt $U := (u,v) \in \mathcal{G}'$ omadusega $T(U) = X$
2. eksisteerivad osatuletised $\frac{\partial \xi}{\partial u}, \; \frac{\partial \xi}{\partial v}, \; \frac{\partial \eta}{\partial u}, \; \frac{\partial \eta}{\partial v}$,
mis on pidevad hulgas $\mathcal{G}'$
3. jakobiaan
\[ J(U) := \frac{D(x,y)}{D(u,v)} := \begin{vmatrix}
\frac{\partial \xi}{\partial u}(U) & \frac{\partial \xi}{\partial v}(U) \\
\frac{\partial \eta}{\partial u}(U) & \frac{\partial \eta}{\partial v}(U)
\end{vmatrix} \]
on nullist erinev iga $U \in \mathcal{G}'$ korral.
Tänu kujutuse $T$ bijektiivsusele avalduvad $u$ ja $v$ muutujate $x$ ja $y$ funktsioonina: $u = u(x,y), \; \; v = v(x,y), \; \; X=(x,y) \in \mathcal{G}$
Olgu lahtises sidusas hulgas $\mathcal{G}$ fikseeritud punktid $A$ ja $B$. Siis joonintegraal $\int_{AB} F \text{d}x + G \text{d}y$ on sõltumatu
punkte $A$ ja $B$ ühendavast integreerimisteest piirkonnas $D$ parajasti siis, kui iga lihtsa kinnise joone $\Gamma \subset \mathcal{G}$ korral
\[ \int_{\Gamma}F \text{d}x + G \text{d}y = 0 \]
Olgu funktsioonid $F$ ja $G$ ning nende osatuletised $\frac{\partial G}{\partial x}$ ja $\frac{\partial F}{\partial y}$ pidevad lahtises ühelisidusas
piirkonnas $\mathcal{G}$. Joonintegraal $\int_{AB}F\text{d}x + G\text{d}y$ on sõltumatu punkte $A$ ja $B$ ühendavast integreerimisteest piirkonnas $\mathcal{G}$
parajasti siis, kui $\frac{\partial G}{\partial x} = \frac{\partial F}{\partial y}$ kogu $\mathcal{G}$-s.
Olgu funktsioonid $F$ ja $G$ ning nende osatuletised $\frac{\partial G}{\partial x}$ ja $\frac{\partial F}{\partial y}$ pidevad lahtises ühelisidusas
piirkonnas $\mathcal{G}$. Avaldis $F \text{d}x + G \text{d}y$ on mingi piirkonnas $\mathcal{G}$ diferentseeruva kahe muutuja funktsiooni $w = f(x,y)$
täisdiferentsiaal parajasti siis, kui $\frac{\partial G}{\partial x} = \frac{\partial F}{\partial y}$ kogu $\mathcal{G}$-s.
Regulaarse teisenduse $T : \mathcal{G} \longrightarrow \mathcal{G}$ poolt määratud funktsioonidel $u : \mathcal{G} \longrightarrow \mathcal{G}$ ja
$v : \mathcal{G} \longrightarrow \mathcal{G}$ leiduvad pidevad osatuletised mõlema muutuja $x$ ja $y$ järgi hulgas $\mathcal{G}$.
Olgu $\mathcal{G}'$ lahtine ühelisidus hulk. Olgu $T : \mathcal{G}' \longrightarrow T(\mathcal{G}) \subset \Bbb{R}^2$ võrranditega
$x = \xi(u,v), \; \; y = \eta(u,v), \; \; U \in \mathcal{G}'$ määratud regulaarne teisendus. Olgu $\Lambda$ lihtne kinnine tükiti sile joon
hulgas $\mathcal{G}'$, $\partial \Delta = \Lambda$ ning tähistame $D = T(\Delta)$ ja $L = T(\Lambda)$. Olgu vähemalt üks paar segaosatuletisi
$\frac{\partial^2 \eta}{\partial u \partial v}$ ja $\frac{\partial^2 \eta}{\partial v \partial u}$ või
$\frac{\partial^2 \xi}{\partial u \partial v}$ ja $\frac{\partial^2 \xi}{\partial v \partial u}$ pidevad hulgas $\mathcal{G}'$, siis
\[ \mu(D) = \iint_{\Delta} |J|\text{d}u \, \text{d}v \]
Kehtigu eelnevad eeldused ning olgu $f$ integreeruv hulgas $D$.
Siis kehtib muutujavahetuse vahel
\[ \iint_{D}f(x,y) \text{d}x \, \text{d}y = \iint_{\Delta}f(\xi(u,v),\eta(u,v)) |J| \text{d}u \, \text{d}v \]
Muutujate vahetus ristkoordinaatidelt polaarkoordinaatidele:
Olgu $T : \{ (x,y) | x,y \in \Bbb{R} \} \longrightarrow \{ (r,\theta) \; | \; r \ge 0, \; \theta \in [0,2\pi] \}$ määratud võrranditega
$x = r \cos \theta, \; \; y = r \sin \theta$, siis $T$ on regulaarne ja
\[ \iint_{D}f(x,y) \text{d}x \, \text{d}y = \iint_{\Delta}f(r\cos \theta, r \sin \theta)r \, \text{d}u \, \text{d}v \]
Muutujate vahetus kolmekordses integraalis
Olgu $\Xi$ kinnine mõõtuv hulk ning $\Pi := T^{-1}(\Xi)$, kus $T$ on seostega
\[ x = \xi(u,v,w), \; \; y = \eta(u,v,w), \; \; z = \zeta(u,v,w) \]
määratud regulaarne teisendus. Kui funktsioon $w = f(x,y,z)$ on pidev hulgas $\Xi$, siis
\[ \iiint_{\Xi}f(x,y,z) \text{d}x \, \text{d}y \, \text{d}z = \iiint_{\Pi}\Phi(u,v,w) \bigg\lvert \frac{D(x,y,z)}{D(u,v,w)} \bigg\rvert \text{d}u \, \text{d}v \, \text{d}w, \]
kus $\Phi(u,v,w) = f(\xi(u,v,w),\eta(u,v,w),\zeta(u,v,w))$.
Olgu $\Pi$ kinnine hulk ruumis $\Bbb{R}^3$, milles on defineeritud funktsioonid
\[ x = \xi(u,v,w), \; \; y = \eta(u,v,w), \; \;z = \zeta(u,v,w) \]
Olgu $\Xi := \{ (x,y,z) \; | \; (u,v,w) \in \Pi \}$. Funktsiooni $T : \Pi \longrightarrow \Xi$ nimetatakse regulaarseks, kui
1. $T$ on bijektsioon
2. funktsioonidel $\xi, \; \eta$ ja $\zeta$ on hulgas $\Pi$ pidevad osatuletised kõigi argumentide järgi
3. jakobiaan
\[ J(U) := \frac{D(x,y,z)}{D(u,v,w)} = \begin{vmatrix}
\frac{\partial \xi}{\partial u}(U) & \frac{\partial \xi}{\partial v}(U) & \frac{\partial \xi}{\partial w}(U) \\
\frac{\partial \eta}{\partial u}(U) & \frac{\partial \eta}{\partial v}(U) & \frac{\partial \eta}{\partial w}(U) \\
\frac{\partial \zeta}{\partial u}(U) & \frac{\partial \zeta}{\partial v}(U) & \frac{\partial \zeta}{\partial w}(U)
\end{vmatrix} \neq 0\]
iga $U \in \Pi$ korral.
Üleminek silindrilistele koordinaatidele:
\[ x = r \cos \theta, \; \; y = r \sin \theta, \; \; z = z \; \; (r \geq 0, \; 0 \leq \theta \leq 2\pi, \; - \infty \lt z \lt \infty) \]
\[ \iiint_{\Xi} f(x,y,z) \text{d}x \text{d}y \text{d}z = \iiint_{\Pi} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) r \, \text{d}r \, \text{d}\theta \, \text{d}z \]
Üleminek sfäärilistele koordinaatidele:
\[ x = \sin \gamma \cos \theta, \; \; y = r \sin \gamma \sin \theta, \; \; z = r \cos \gamma, \; \; \; (r \geq 0, \; 0 \leq \theta \leq 2\pi, \; 0 \leq \gamma \leq \pi) \]
\[ \iiint_{\Xi} f(x,y,z) \text{d}x \text{d}y \text{d}z = \iiint_{\Pi}f(r \sin \gamma \cos \theta, r \sin \gamma \sin \theta, r \cos \gamma) \, r^2 \cdot \sin \, \gamma \text{d}r \, \text{d}\theta \, \text{d}\gamma \]
Diferentsiaal- ja integraalarvutuse põhiteoreemid
Ühe muutuja funktsioonide diferentsiaal- ja integraalarvutuse põhiteoreem on Stokesi teoreemi ühemõõtmeline erijuht.
Newton-Leibnizi valem ühe muutuja funktsioonide korral on
\[ \int_{a}^{b}F'(x)\text{d}x = F(b) - F(a) \]
Gradientide põhiteoreem
Gradientide põhiteoreem seob omavahel joonel määratud integraali väärtusi selle joone otspunktidega.
Olgu $\varphi : U \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ pidevalt diferentseeruv funktsioon ja $\gamma$ hulgas $U$ sisalduv mistahes
kõverjoon, mille alguspunkt on $\mathbf{p}$ ja lõpppunkt on $\mathbf{q}$. Siis kehtib valem
\[ \int_{\gamma} \Delta \varphi(\mathbf{r}) \cdot \text{d} \mathbf{r} = \varphi(\mathbf{q}) - \varphi(\mathbf{p}),\]
kus $\Delta \varphi$ on vektorvälja $\varphi$ gradient.
Gradientide teoreemist järeldub, et joonintegraalid läbi gradientvälja on integreerimisteest sõltumatud.
Greeni valem
Greeni valem seob omavahel tasandilises piirkonnas $D$ määratud integraali väärtusi selle piirkonna rajajoonel $\partial D$ määratud joonintegraaliga,
lühidalt seob Greeni valem omavahel kahekordset integraali ja joonintegraali.
Greeni teoreem on Stokesi teoreemi kahemõõtmeline erijuht.
Olgu $\mathcal{G}$ lahtine ühelisidus piirkond $xy$-tasandil ja olgu $D \subset \mathcal{G}$ kinnine tükiti sileda rajajoonega hulk.
Kui $F : \mathcal{G} \longrightarrow \Bbb{R}$ ning $G : \mathcal{G} \longrightarrow \Bbb{R}$ on sellised pidevad funktsioonid, millel on
hulgas $\mathcal{G}$ pidevad osatuletised $\frac{\partial F}{\partial y}$ ja $\frac{\partial G}{\partial x}$, siis
\[ \iint_{D} \Big( \frac{\partial G}{\partial x} - \frac{\partial F}{\partial y} \Big) \text{d}x \, \text{d}y = \int_{\partial D}F \text{d}x + G \text{d}y \]
Greeni valem on Newton-Leibnizi valemi kahemõõtmeline üldistus.
Intuitiivselt väidab Greeni valem, et kui summeerida hulga $D$ igast punktist väljuv voog, siis saadud tulemus on võrdne vooga läbi $D$ rajajoone.
Üheks kõige lihtsamaks Greeni valemi rakenduseks on vaadeldava piirkonna pindala arvutamine. Kui funktsioonid $F$ ja $G$ valida selliselt, et
$\frac{\partial G}{\partial x} - \frac{\partial F}{\partial y} = 1$ kogu hulgas $D$, siis võttes $F(x,y) = 0$ ja $G(x,y) = x$ iga $(x,y) \in D$ korral,
saame valemi $\mu(D) = \int_{\partial D}x \text{d}y$.
Ostrogradski valem
Ostrogradski ehk divergentsiteoreem seob omvahel ruumintegraali integreeritava ruumiosa rajapinna pindintegraaliga.
Ostrigradski teoreem on Greeni valemi kolmemõõtmeline analoog.
Olgu $\mathcal{G} \subset \Bbb{R}^3$ lahtine ühelisidus piirkond ja olgu $\Xi \subset \mathcal{G}$ kinnine hulk, mille rajapind on tükiti sile.
Kui $F,G,H : \mathcal{G} \longrightarrow \Bbb{R}$ on sellised pidevad funktsioonid, millel on hulgas $\mathcal{G}$ pidevad osatuletised
$\frac{\partial F}{\partial x}, \; \; \frac{\partial G}{\partial y}$ ja $\frac{\partial H}{\partial z}$, siis
\[ \iiint_{\Xi} \Big( \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial G}{\partial y} + \frac{\partial H}{\partial z} \Big) \text{d}x \, \text{d}y \, \text{d}z
= \iint_{\Omega} F \, \text{d}y \, \text{d}z + G \, \text{d}z \, \text{d}x + H \, \text{d}x \, \text{d}y \]
Ostrogradski valem on Greeni valemi kolmemõõtmeline variant.
Stokesi valem
Stokesi teoreem seob omvahel pindintegraali ja integreeritava pinna rajajoonel määratud joonintegraali.
Olgu sidus pind $\Omega \subset \Bbb{R}^3$ selline, mida saab siledate joontega jaotada lõplikuks arvuks siledateks tükkideks nii, et neid tükke saab esitada võrranditega
\[ z = \Phi(x,y), \; \; \; y = \Psi(z,x), \; \; \; x = \Upsilon(y,z) \]
Olgu $F,G,H : \Omega \longrightarrow \Bbb{R}$ pidevad ning olgu osatuletised
$\frac{\partial F}{\partial y}, \; \frac{\partial F}{\partial z}, \;
\frac{\partial G}{\partial x}, \; \frac{\partial G}{\partial z}, \;
\frac{\partial H}{\partial x}, \; \frac{\partial H}{\partial y} $
samuti pidevad. Siis
\[ \int_{\partial \Omega}F \text{d}x + G \text{d}y + H \text{d}z = \iint_{\Omega}
\Big( \frac{\partial H}{\partial y} - \frac{\partial G}{\partial z} \Big) \text{d}y \, \text{d}z +
\Big( \frac{\partial F}{\partial z} - \frac{\partial H}{\partial x} \Big) \text{d}z \, \text{d}x +
\Big( \frac{\partial G}{\partial x} - \frac{\partial F}{\partial y} \Big) \text{d}x \, \text{d}y \]
Ruumiline joonintegraal $\int_{AB} F \text{d}x + G \text{d}y + H \text{d}z$ on punkte $A$ ja $B$ ühendavast integreerimisteest sõltumatu parajasti siis, kui
\[ \frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial G}{\partial z}, \; \; \;
\frac{\partial F}{\partial z} = \frac{\partial H}{\partial x}, \; \; \;
\frac{\partial G}{\partial x} = \frac{\partial F}{\partial y} \]