Klassikaline Mehaanika
Alates 18. sajandil alanud tööstusrevolutsioonist suurenes inimeste elukvaliteet oluliselt tänu mitmesugustele mehaanilistele ja poolautomaatsetele
masinatele, mida tehastes kasutama hakati, suurendades oluliselt tootlikkust. Üha enam hakkas tekkima käsitlusviis meid ümbritsevate füüsiliste kehade
paiknemisest ja liikumisest ruumis erinevate jõudude mõjul. Sellest tulenevalt hakati kirjeldama jõuülekandeid erinevates mehaanilistes süsteemides
ja elementides, nagu kangid, pöörid, rihmrattad, kalded, kiilud, kruvid, hammasrattad, kuullaagrid, vedrud jne. Ehitusmehaanikas on olulisel
kohal struktuurelemendid nagu plaadid, koordikud, kaared, talad jne. Elementaarsematest masina- ja struktuurielemenditest moodustatakse keerulisemaid
masinaid ja ehitisi, nagu nt mootorid, kraanad, liftid, trossid, kõrged majad, sillad jne. Kõikide nende puhul tuleb võimalikult täpselt arvutada
komponentide vahelisi jõuülekandeid, deformatsioone, pingeid ja muud sellist, et hinnata vastavate konstruktsioonide toimimist, stabiilsust
ja vastupidavust. Kui inseneris pole ülevaadet süsteemis tekkivatest jõudusest, võib tulemuseks olla purunevad ja ohtlikud masinad, kokkuvarisevad
majad ja sillad.
Vaatleme eukleidilist ruumi $\mathbb{R}^3 = \{ (x_1,x_2,x_3) \; | \: x_1,x_2,x_3 \in \mathbb{R} \}$. Seome eukleidilise ruumiga $\mathbb{R}^3$
temaga isomorfse eukleidilise vektorruumi $E$ üle reaalarvude korpuse $\mathbb{R}$ ning vaatleme funktsiooni $\vec{x}(t) := (x_1(t),x_2(t),x_3(t))$,
mis kirjeldab punkti $P$ asukohta ruumis $E$ tema kohavektori $\vec{x}(t)$ kaudu ajahetkel $t$.
Punkti kiirus on tema kohavektori tuletis aja järgi, s.t $\vec{v} = \frac{\text{d} \vec{x}}{\text{d}t}.$
Punkti kiirendus on tema kiiruse tuletis aja järgi, s.t $\vec{a} = \frac{\text{d} \vec{v}}{\text{d}t} = \frac{\text{d}^2 \vec{x}}{\text{d}t^2}$.
Punkt läbib aja $t$ jooksul kiirusel $\vec{v}$ korral teepikkuse $\vec{x} = \int_{0}^{t} \vec{v} \, \text{d}t$.
Punkti kiiruse muut aja $t$ jooksul $\vec{v} = \int_{0}^{t} \vec{a} \, \text{d} t $
Newtoni seadused
Keha mass väljendab selle keha inertsust ehk vastupanu liikumisoleku muutumisele.
1. Kui kehale ei mõju jõude, siis ta liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt, s.t $\vec{F} = \vec{0} \Rightarrow \vec{v} = const$.
2. Keha kiirendus on võrdeline talle mõjuvate jõududega ja võrdeteguriks on keha mass, s.t $\vec{F} = m \vec{a}$
3. Kehad mõjutavad üksteist suuruselt võrdsete, kuid suuna poolest vastupidiste jõududega, s.t $\vec{F}_1 = - \vec{F}_2$.
Keha $K$ asukoht ruumis $\mathbb{R}^3$ talle mõjuvate jõudude $\vec{F}_k(t)$ korral on määratud seosega
\[ \vec{x}(t) = \vec{x}(t_0) + \int_{t_0}^{t} \Big( \vec{v}(t_0) + \frac{1}{m} \int_{t_0}^{t} \sum_{k=1}^{n}\vec{F}_k(t) \, \text{d}t \Big) \, \text{d}t \]
Töö ja energia
Jõu $\vec{F}$ poolt tehtud töö keha $K$ liigutamisel punktist $P_1$ punkti $P_2$ mööda joont $C$ on defineeritud
kui joonintegraal \[ W = \int_{C} \vec{F} \cdot \text{d}\vec{s}. \]
Energia väljendab keha võimet teha tööd. Kineetiline energia on keha liikumisenergia ning potenstiaalne energia tuleneb keha asukohast teiste kehade suhtes.
Töö ja energia printsiibi kohaselt on jõu poolt tehtud töö võrdne keha kineetilise energia muuduga, s.t $\Delta E = W$.
Rakendates töö ja energia printsiipi ning Newtoni teist seadust, saame tuletada keha kineetilise energia
\[ \Delta E = W = \int_{C} \vec{F} \cdot \text{d}\vec{x} = \int_{C} m \vec{a} \cdot \text{d} \vec{x} = m \int_C \frac{\text{d}\vec{v}}{\text{d}t} \cdot \text{d}\vec{x}
= m \int \frac{\text{d}\vec{x}}{\text{d}t} \cdot \text{d}\vec{v} = m \int \vec{v} \cdot \text{d} \vec{v} = \frac{1}{2} m v^2 \]
Potentsiaalse energia muut $\Delta U$ on võrdne negatiivse tööga, s.t $\Delta U = -W$ ehk $\Delta U = U(\vec{x}_A) - U(\vec{x}_B) = \int_{C} \vec{F} \cdot \text{d}\vec{x}$.
Keha impulss on defineeritud kui $\vec{p} = m \vec{v}$. Jõud on impulsi tuletis aja järgi: $\vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt}$.
Impulsi muut $\Delta \vec{p} = J = \int_{t_0}^{t_1} \vec{F}(t) \text{d}t$.
Võimsus väljendab töö tegemise kiirus, s.t võimsus on töö tuletis aja järgi: $P = \frac{\text{d}W}{\text{d}t}$.
Kuna $W = \vec{F} \cdot \vec{x}$, siis
\[ P = \frac{\text{d}}{\text{d}t}(\vec{F} \cdot \vec{x}) = \vec{F} \cdot \frac{d \vec{x}}{dt} = \vec{F} \cdot \vec{v}.\]
Pöörlemine
Pöörleva keha nurkkiirust väljendatakse keha pöörlemistelje sihilise vektori $\vec{\omega}$ abil, mille pikkus on pöörlemisnurk $\theta$ ning
suund on määratud parema käe reegliga. Keha nurkkiirus on tema kohavektori tuletis aja järgi, s.t $\vec{v} = \frac{\text{d} \vec{\theta}}{\text{d}t}.$
Keha nurkkiirendus on tema nurkkiirusvektori tuletis aja järgi, s.t $\vec{\alpha} = \frac{\text{d} \vec{\omega}}{\text{d}t} = \frac{\text{d}^2 \vec{\theta}}{\text{d}t^2}$.
Keha pöördeid ümber $x-,y-$ ja $z$-telje kirjeldavad vastavalt maatriksid
\[ R_x(\theta) =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \theta & - \sin \theta \\
0 & \sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}, \; \;
R_y(\theta) =
\begin{pmatrix}
\cos \theta & 0 & \sin \theta \\
0 & 1 & 0 \\
- \sin \theta & 0 & \cos \theta
\end{pmatrix} , \; \;
R_z(\theta) =
\begin{pmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta & 0 \\
\sin \theta & \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\]
Pööre ümber mistahes telje esitub elementaarsete pöörete kaudu
\[ R(\theta) = R_z(\alpha) \cdot R_y (\beta) \cdot R_y (\gamma) =
\begin{pmatrix}
\cos \alpha \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma - \sin \alpha \cos \gamma & \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma - \sin \alpha \sin \gamma \\
\sin \alpha \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma - \cos \alpha \cos \gamma & \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma - \cos \alpha \sin \gamma \\
- \sin \beta & \cos \beta \sin \gamma & \cos \beta \cos \gamma
\end{pmatrix},
\]
kus $\alpha, \beta$ ja $\gamma$ on Euleri nurgad.
Kui keha mass kirjeldab selle keha inertsust ehk keha vastupanu kiirendamisele, siis pöörete korral on analoogiliskes mõisteks inertsimoment,
mis kirjeldab keha vastupanu nurkkiirendusele.
Jõu momendiks punkti $O$ suhtes nimetatakse vektorit \[ \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} \]
Jõumoment on analoogne nihkejõuga $\vec{F}$, kuid rakendub pööretele. Jõu moment on impulsimomendi tuletis aja järgi, s.t $\vec{\tau} = \frac{\text{d}\vec{L}}{\text{d}t}$
ning sellest järelduvalt
\[ \vec{\tau} = \frac{\text{d}(I \vec{\omega})}{\text{d}t} = I \frac{\text{d}\vec{\omega}}{\text{d}t} + \frac{\text{d}I}{\text{d}t} \vec{\omega} =
I \vec{\alpha} + 2rp_{||} \vec{\omega}. \]
Kehtib valem $\mathbf{\tau}_{net} = \mathbf{I} \mathbf{\alpha} + 2rp_{||} \mathbf{\omega}$, kus $\mathbf{\tau}$ on jõumoment, $\mathbf{\alpha}$ on nurkkiirendus,
$p_{||}$ impulsi (liikumishulga) radiaalne komponent. See võrrand on Netwoni 2. seaduse analoog pöörete korral.
Eelnevad kaks jõumomendi definitsiooni on samaväärsed: kuna $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$, siis
\[ \frac{\text{d}\vec{L}}{\text{d}t} = \vec{r} \times \frac{\text{d}\vec{p}}{\text{d}t} + \frac{\text{d}\vec{r}}{\text{d}t} \times \vec{p}. \]
Kuna $\vec{F} = \frac{\text{d}\vec{p}}{\text{d}t}$ ja $\frac{\text{d}\vec{r}}{\text{d}t} = \vec{v}$, siis
\[ \frac{\text{d}\vec{L}}{\text{d}t} = \vec{r} \times \vec{F} + \vec{v} \times \vec{p}. \]
Kuna $\vec{v} \times \vec{p} = 0$, siis $\frac{\text{d}\vec{L}}{\text{d}t} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{\tau}$.
Jõumomendi, võimsuse ja energia vahelised seoses. Jõud, mis on rakendatud üle teepikkuse, teeb tööd. Sarnaselt, jõumoment, mis on rakendatud üle mingi pöördepikkuse,
teeb tööd. Pöörde korral ümber massikeskme on töö suuruseks
\[ W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau \text{d} \theta. \]
Keha impulsimoment on impulsi analoog pöörlemise jaoks: $\vec{L} = I \omega = \vec{r} \times \vec{p}$.
Pöörde korral väljendab võimsus samuti töö tegemise kiirust ning $P = \mathbf{\tau} \cdot \mathbf{\omega},$ kus $\mathbf{\omega}$ on nurkkiirus.
Punktmasside süsteemi $P_1,...,P_n$ inertsimoment punkti $O$ suhtes on
\[ I_P = \sum_{i = 1}^{N} m_i r_i^2, \]
kus $m_i$ on punkti $P_i$ mass ja $r_i$ on punkti $P_i$ kaugus punktist $O$.
Pideva massijaotuse korral on vaadeldava keha inertsimoment punkti $O$ suhtes
\[ I_P = \iiint_{Q} \rho(x,y,z) || \mathbf{v} ||^2 \text{d}V, \]
kus $\rho$ on massitihedusfunktsioon.
Sama objekti korral annab iga pöörlemistelg uue inertsimomendi. $N$ punktmassikorral saab nende kõik inertsimomendid võrra kokku inertsitensoriga
\[ \mathbf{I} =
\begin{bmatrix}
I_{11} & I_{12} & I_{13} \\
I_{21} & I_{22} & I_{23} \\
I_{31} & I_{32} & I_{33}
\end{bmatrix},
\]
kus $I_{ij} := \sum_{k = 1}^{N} m_k (||\mathbf{r}||^2 \delta_{ij} - x_i x_j)$ ja $\delta_{ij}$ on Kroneckeri delta.
Pideva massijaotusega keha korral on tema inertsitensoriks
\[ \mathbf{I} = \iiint_{V} \rho(x,y,z) (||\mathbf{r}^2|| \mathbf{E}^3 - \mathbf{r} \otimes \mathbf{r}) \text{d}V, \]
kus $\mathbf{r} \otimes \mathbf{r}$ on väliskorrutis, $\mathbf{E}^3$ on 3. järku ühikmaatriks ja $V$ on ruumiosa, mis täielikult sisaldab vaadeldavat objekti.
$N$ punktmassi massikeskme kohavektor on $\mathbf{R} = \frac{1}{M} \sum_{i}^{N} m_i \mathbf{r}_i$ ning
pideva massijaotusega keha massikeskme kohavektor on $\mathbf{R} = \frac{1}{M} = \iiint_{Q} \rho(\mathbf{r}) \mathbf{r} \text{d}V$.
Elastsete süsteemide mehaanika
Tahke keha pinnale rakendatava välisjõu mõjul deformeeruvas kehas tekivad sisejõud, mille tulemusel tekib deformeerunud olekus keha
mistahes punktis seda punkti läbiva suvalise lõiketasandi korral pingevektor
\[ \mathbf{T}_i^{(\mathbf{n})} = \lim_{\Delta S \rightarrow 0} \frac{\Delta F_i}{\Delta S} \]
Üldiselt ei ole tekkinud pingevektorid risti lõiketasandiga, mistõttu saab selle pingevektori jagada lõiketasandiga
ristuvaks normaalpingeks
\[ \sigma_n = \lim_{\Delta S \rightarrow 0} \frac{\Delta F_n}{\Delta S} \]
ning lõiketasandiga paralleelseks tangentsiaalpingeks
\[ \tau = \lim_{\Delta S \rightarrow 0} \frac{\Delta F_s}{\Delta S}. \]
Deformeerunud olekus keha pingeoleku määramiseks mingis sisepunktis piisab vaadelda seda punkti läbivat kolme teineteisega ristuvat lõiketasandit
ning neil tekkivaid pingevektoreid. Cauchy teoreemi kohaselt leidub teist järku tensorväli $\mathbf{\sigma}(\mathbf{x},t)$, mis on sõltumatu
lõiketasandite normaalidest $\mathbf{n}$ ning mis on lineaarne normaalvektori $\mathbf{n}$ suhtes, s.t
\[ \mathbf{T}^{(\mathbf{n})} = \mathbf{n} \cdot \mathbf{\sigma}, \]
kus suurust
\[ \mathbf{\sigma} =
\begin{bmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\
\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\
\sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\
\sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix}
\]
nimetatakse Cauchy pingetensoriks. Cauchy pingetensor võtab kokku vaadeldava keha kogu pingeseisundi vaadeldavad punktis.
Impulsi jäävuse seadusest järeldub, et kui vaadeldav keha on staatilises tasakaalus, siis rahuldab Cauchy pingetensor tasakaaluvõrrandeid
\[ \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} + X = 0 \]
\[ \frac{\tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\sigma_y}{\partial y} + \frac{\tau_{zy}}{\partial z} + Y = 0 \]
\[ \frac{\tau_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_z}{\partial z} + Z = 0 \]
Lisaks järeldub impulsimomendi jäävuse seadusest, et Cauchy pingetensor on sümmeetriline, s.t $\sigma_{ij} = \sigma_{ji}$.
Hooke'i seadus
Hooke-i seadus kirjeldab vaadeldava keha pikenemist talle rakendatud jõudude mõjul. Hooke'i seaduse üldvõrrand on
\[ \mathbf{F} =
\begin{bmatrix}
F_1 \\ F_2 \\ F_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\kappa_{11} & \kappa_{12} & \kappa_{13} \\
\kappa_{21} & \kappa_{22} & \kappa_{23} \\
\kappa_{31} & \kappa_{32} & \kappa_{33}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
X_1 \\ X_2 \\ X_3
\end{bmatrix}
= \mathbf{\kappa} \mathbf{X}
\]
Pideva meediumi korral saab Hooke'i seadus kuju
\[ \mathbf{\sigma} = - \mathbf{c} \mathbf{\varepsilon}, \]
kus
\[
\mathbf{\sigma} = \begin{bmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\
\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
\end{bmatrix},
\mathbf{c} = \begin{bmatrix}
c_{11} & c_{12} & c_{13} \\
c_{21} & c_{22} & c_{23} \\
c_{31} & c_{32} & c_{33}
\end{bmatrix},
\mathbf{\varepsilon} = \begin{bmatrix}
\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\
\varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
\varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33}
\end{bmatrix}
\]
on vastavalt pingetensor ($\mathbf{\sigma}$), jäikustensor ($\mathbf{c}$) ja deformatsioonitensor ($\mathbf{\varepsilon}$).