Vektorruum

Vektorruumiks $V$ üle korpuse $K$ nimetatakse hulka, milles on defineeritud kujutused \[ V \times V \rightarrow V, (a, b) \mapsto a+b \text{ ja } K \times V \rightarrow V, (k,a) \mapsto ka \text{ nii, et } \] $(a+b)+c = a + (b+c) \quad \forall a,b,c \in V$
leidub nullelement $0 \in V$ nii, et $a+0 = 0+a = a \quad \forall a \in A$
iga $a \in V$ korral leidub vastandelement $-a \in A$, et $a+(-a)=0)$
$a+b = b+a \quad \forall a,b \in V$
$k(a+b) = ka + kb \quad \forall b \in K$ ja $a,b \in V$
$(k+l)a = ka + la \quad \forall k,l \in K$ ja $a \in V$
$(kl)a = k(la) \quad \forall k,l \in K$ ja $a \in V$
$1a = a \quad \forall a \in V$

Vektorruumi $V$ elemente nimetatakse vektoriteks ning korpuse $K$ elemente nimetatakse skalaarideks.

Vektorruumi $V$ alamruumiks nimetatakse tema mittetühja alamhulka $U \subset V$, mille korral
$a+b \in U \quad \forall a,b \in U$ ja
$ka \in U \quad \forall k \in K$ ja $a \in U$ korral

Vektorite $a_1, . . . , a_n \in V$ lineaarkombinatsiooniks nimetatakse mistahes avaldist $k_1a_1 + k_2 a_2 + . . . + k_n a_n$ ning selle avaldise poolt määratud vektorit, kus $k_1, . . . , k_n \in K$ on selle lineaarkombinatsiooni kordajad.

Vektorite $a_1, . . ., a_n$ lineaarseks katteks nimetatakse hulka $L(a_1, . . . , a_n)$, mille elementideks on kõikvõimalikud vektoritest $a_1, . . . , a_n$ moodustatud lineaarkombinatsioonid, st \[ L(a_1, . . . , a_n) := \{k_1a_1 + k_2a_2 + . . . + k_n a_n \, | \, k_1, . . . , k_n \in K \} \]

Vektorruumi $V$ vektorite süsteemi $a_1, . . . , a_n$ nimetatakse lineaarselt sõltumatuks, kui mistahes $k_1, . . . , k_n \in K$ korral võrdusest $k_1a_1 + k_2 a_2 + . . . + k_n a_n = 0$ järeldub, et $k_1 = k_2 = . . . = k_n = 0$.

Vektorruumi $V$ vektorite süsteemi $a_1, . . . , a_n$ nimetatakse lineaarselt sõltuvaks, kui leiduvad $k_1, . . . , k_n \in K$ nii, et võrdus $k_1a_1 + k_2 a_2 + . . . + k_n a_n = 0$ ja vähemalt üks elementidest $k_1, . . . , k_n$ on nullist erinev.

Vähemalt kahest vektorist koosnev süsteem $a_1, . . . a_n$ on lineaarselt sõltuv parajasti siis, kui vähemalt üks nendest vektoritest avaldub ülejäänud vektorite lineaarkombinatsioonina, ning lineaarselt sõltumatuks parajasti siis, kui mitte ükski nendest vektoritest ei avaldu ülejäänud vektorite lineaarkombinatsioonina.

Vektorruumi $V$ vektorite süsteemi $M$ nimetatakse moodustajate süsteemiks, kui vektorruumi $V$ iga vektor avaldus süsteemi $M$ vektorite lineaarkombinatsioonina.

Vektorruumi baasiks nimetatakse selle vektorruumi mistahes lineaarselt sõltumatut moodustajate süsteemi.
Vektorruumi $V$ igas baasis on ühepalju elemente, ning elementide arvu mingis baasis nimetatakse vektorruumi $V$ mõõtmeks.

Vektorruumi $V$ suvalise vektori $a$ esitamisel baasivektorite $e_1, . . . , e_n$ lineaarkombinatsioonina $a = k_1e_1 + k_2e_2 + . . . + k_ne_n$ nimetatakse skalaare $k_1, . . . , k_n$ vektori $a$ koordinaatideks baasivektorite $e_1, . . . , e_n$ suhtes.

Maatriksid

Maatriksiks nimetatakse m reast ja n veerust koosnevad arvutabelit \[ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & . . . & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & . . . & a_{2n} \\ . . . & . . . & . . . & . . . \\ a_{m1} & a_{m2} & . . . & a_{mn} \end{pmatrix} \] ehk lühidalt $A := (a_{ij})$, kus $a_{ij}$ on $i-$ndas reas ja $j-$ndas veerus paiknev element. Kaks maatriksit on võrdsed, kui nende ridade ja veergude arvud on võrdsed ning vastavatel kohtadel olevad elemendid on võrdsed. Kõigi $(m \times n)$-järku maatriksite hulka tähistatakse $\mathbb{K}^{m \times n}$, kus $\mathbb{K}$ on korpus, kuhu antud maatriksi elemendid kuuluvad.

Maatriksite $A = (a_{ij}) \in \mathbb{K}^{m \times n}$ ja $B = (b_{ij}) \in \mathbb{K}^{m \times n}$ summaks nimetatakse maatriksit $A+B=(c_{ij}) \in \mathbb{K}^{m \times n}$, kus $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ iga $(i,j) \in \{1, . . ., m\} \times \{1, . . . , n \}$ korral.

Maatriksi $A = (a_{ij}) \in \mathbb{K}^{m \times n}$ ja skalaari $k \in \mathbb{K}$ korrutiseks nimetatakse maatriksit $kA = (b_{ij}) \in \mathbb{K}^{m \times n}$, kus $b_{ij} = ka_{ij} \quad$ iga $(i,j) \in \{1, . . ., m\} \times \{1, . . . , n \}$ korral.

Kõigi $(m \times n)$-järku maatriksite hulk $\mathbb{K}^{m \times n}$ moodustab vektorruumi eelnevalt defineeritud liitmise ja skalaariga korrutamise suhtes, kus selle vektorruumi nullvektoriks on nullmaatriks $\Theta_{m,n} \in \mathbb{K}(m \times n), \theta_{ij} = 0 \forall i,j$ ja maatriksi $A = (a_{ij})$ vastandmaatriksiks on $-A := (-1)A = (-a_{ij})$.

$(A+B)+C = A + (B+C)$ - liitmise assotsiatiivne
$A + B = B + A$ - liitmise kommutatiivsus
$A + \Theta_{m,n} = \Theta_{m,n} + A = A$
$A + (-A) = \Theta_{m,n}$
$k(A+B) = kA + kB$
$(k+l)A = kA + lA$
$(kl)A = k(lA)$
$1A = A$

Maatriksite $A = (a_{ij}) \in Mat_{m,n}$ ja $B = (b_{ij}) \in Mat_{n,p}$ korrutiseks nimetatakse maatriksit $C = (c_{ij}) \in Mat_{m,p}$, kus iga $i \in \{ 1,...,m \}$ ja $j \in \{ 1,...,p \}$ korral $c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}$

Ruutmaatriksi $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ pöördmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit $B \in \mathbb{K}^{n \times n}$, mille korral $AB = BA = E$. Maatriksit $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ nimetatakse pööratavaks, kui tal leidub pöördmaatriks. Ruutmaatriks on pööratav parajasti siis, kui ta on regulaarne, s.t kui $|A| \neq 0$.

Kõigi $n$-järku ruutmaatriksite hulk $\mathbb{K}^{n \times n}$ moodustab ringi maatriksite liitmise ja korrutamise suhtes. Kõigi $n$-järku pööratavate ruutmaatriksite hulk $\mathbb{K}^{n \times n}$ moodustab rühma maatriksite korrutamise suhtes.

Maatriksi $A = (a_{ij}) \in Mat_{m,n}(K)$ $i$-ndaks reavektoriks nimetatakse vektorit $A_i = (a_{i1}, a_{i2}, ... , a_{in}) \in K^n$ ja $i$-ndaks veeruvektoriks nimetatakse vektorit $(a_{1i}, a_{i2}, ... , a_{mi}) \in K^m$

Elementaarteisendused maatriksi ridadega(veergudega) ning neile vastavad elementaarmaatriksid:
1. maatriksi kahe rea(veeru) äravahetamine, millele vastav elementaarmaatriks on maatriks $T_{ij}$, mis on saadud ühikmaatriksist $E$ $i$-nda ja $j$-nda rea(veeru) äravahetamise teel;
2. maatriksi rea(veeru) korrutamine nullist erineva arvuga, millele vastav elementaarmaatriks on maatriks $D_i(c)$, mis on saadud ühikmaatriksi peadiagonaali $j$-nda elemendi asendamisel arvuga $c$;
3. maatriksi mingile reale(veerule) mingi arvuga korrutatud teise rea(veeru) liitmine, millele vastav elementaarmaatriks on maatriks $D_{ij}(c)$, mis on saadud ühikmaatriksist, asendades ühikmaatriksi $i$-ndas reas ja $j$-ndas veerus paikneva nullelemendi arvuga $c$.

Mistahes pööratav maatriks on saadav elementaarmaatriksite korrutisega, mis tähendab, et eelnevalt defineeritud elementaarmaatriksid on pööratavate $n$-järku ruutmaatriksite rühma generaatoristeks.

Iga regulaarse maatriksi saab ridade(veergude) elementaarteisenduste abil teisendada ühikmaatriksiks. Maatriksi $A$ pöördmaatriksi saamiseks tuleb ühikmaatriksiga sooritada samad teisendused: $(A | E ) \rightarrow (E | A^{-1})$.

Kui ruutmaatriksid $A,B \in Mat_n$ on pööratavad, siis ka maatriks $AB$ on pööratav ja $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$

Determinandid

Olgu $A$ $n$-elemendiline hulk. Permutatsioon hulga $A$ elementidest on selline $n$-elemendiline järjestatud jada, milles hulga $A$ iga element esineb täpselt ühe korra. Öeldakse, et elemendid $i_k$ ja $i_l$ moodustavad inversiooni permutatsioonis $(i_1,i_2, ..., i_k, ..., i_l, ... , i_n)$, kui $k < l$ ja $i_k > i_l$. Paarispermutatsioon inversioonide koguarv on paarisarv ning paaritu permutatsiooni inversioonide koguarv on paaritu arv.

Ruutmaatriksi $A=(a_{ij}) \in Mat_n$ determinandiks nimetatakse reaalarvu \[ |A| := \sum_{\sigma \in S_n} \Big( \text{sign}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma_i} \Big) \] kus $S_n$ on hulga $\{ 1,2,...,n \}$ kõigi bijektiivsete teisenduste hulk ning $\text{sign}(\sigma)$ on permutatsiooni $\sigma$ paarsus.

Kuna permutatsioonide koguarv $n$-elemendilisel hulgal on $n!$, siis definitsiooni järgi determinandi arvutamine on töömahukas. Töömahtu aitavad vähendada järgnevad determinantide omadused:

Transponeerimisel maatriksi determinant ei muutu. Kui ruutmaatriks sisaldab nullist koosneva rea või veeru, siis tema determinant on null. Kui maatriksi mingi rea kõik elemendid korrutada arvuda $c$, siis tema determinant korrutub ka arvuga $c$. Kui maatriksis ära vahetada kaks rida või veergu, siis determinant muudab märki. Kui ruutmaatriksis on kaks võrdset rida või veergu, siis tema determinant on 0. Kui ruutmaatriksi mingile reale või veerule liita suvalise arvuga korrutatud teine rida või veerg, siis maatriksi determinant ei muutu.
Sama järku ruutmaatriksite korrutise determinant on võrdne tegurite determinantide korrutisega: $|AB| = |A|\cdot|B|$.

Ruutmaatriksi $A=(a_{ij}) \in \mathbb{K}^{n \times n}$ determinanti saab välja arvutada sellest maatriksist saadud väiksemat järku maatriksite determinantide kaudu, rakendades selleks determinandi arendamist valitud ridade või veergude järgi. Kehtib Laplace'i teoreem: \[ |A| = \sum_{i = 1}^{n} a_{ij} (-1)^{i+j}M_{ij}, \] kus $M_{ij}$ on maatriksi $A$ miinor ehk sellise maatriksi determinant, mis on saadud maatriksist $A$ $i$-nda rea ja $j$-nda veeru ärajätmise teel. Iga arendusega väheneb maatriksite järk ühe rea ja veeru võrra.

Lineaarvõrrandisüsteemid

Lineaarvõrrandisüsteemiks nimetatakse võrrandisüsteemi kujul \[ \begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + . . . a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + . . . a_{2n} x_n = b_2 \\ .............................................. \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + . . . a_{mn} x_n = b_n , \end{cases} \] kus $x_1, . . . , x_n$ on tundmatud, $a_{11}, . . . , a_{mn}$ on kordajad ning $b_1, . . . , b_n$ on vabaliikmed.
Tähistades \[ A := \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & . . . & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & . . . & a_{2n} \\ . . . & . . . & . . . & . . . \\ a_{m1} & a_{m2} & . . . & a_{mn} \end{pmatrix} \qquad x := \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ . . . \\ x_{n} \end{pmatrix} \qquad b := \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ . . . \\ b_{n} \end{pmatrix} \] saab võrrandisüsteemi esitada maatrikskujul $Ax=b$
Võrrandisüsteemi lahendiks nimetatakse vektorit $k = (k_1, . . . , k_n)^T$, mille korral $Ak = b$.
Võrrandisüsteemi $Ax = 0$ nimetatakse homogeenseks lineaarvõrrandisüsteemiks.

Lineaarvõrrandisüsteemil võib olla üks lahend, mitte ühtegi lahendit või lõpmata palju lahendeid. Lahendite arv sõltub selle süsteemi kordajatest ja vabaliikmetest. Lahendite arvu hindamisel läheb vaja maatriksi astaku mõistet.

Vektorite süsteemi astakuks nimetatakse selle vektorite süsteemi lineaarse katte mõõdet: $\text{rank}(a_1, . . . , a_n) = \text{dim}(L(a_1,...,a_s))$
Maatriksi astakuks nimetatakse selle maatriksi reavektorite süsteemi astakut, tähistatakse $\text{rank}(A) = \text{dim}(L(A_1,A_2,...,A_m))$.

Maatrikskujul esitatud lineaarvõrrandisüsteemi laiendatud maatriksiks nimetatakse maatriksit $(A | b)$, mis on saadud selle süsteemi kordajate maatriksile vabaliikmete veeru lisamisel.

Kronecker–Capelli teoreem. Lineaarvõrrandisüsteemil $Ax=b$ leidub vähemalt üks lahend parajasti siis, kui selle süsteemi kordajate maatriksi $A$ ja laiendatud maatriksi $(A | b)$ astakud on võrdsed. Kui lisaks sellele on astaku väärtus võrdne tundmatute arvuga selles süsteemis, on sellel süsteemil täpselt üks lahend, vastasel juhul on lahendeid lõpmata palju.

Maatriksi astaku arvutamisel on otstarbekas see maatriks viia astmelisele kujule, kus $i$-nda rea esimene nullist erineva elemendi veeruindeks $j_1$ on suurem $i-1$-nda rea esimese nullist erineva elemendi veeruindeksist $j_2$. Iga maatriksi saab ridade elementaarteisenduste abil viia astmelisele kujule, kusjuures iga elementaarteisenduse käigus maatriksi astak säilib, millest järelduvalt on esialgse maatriksi astak võrdne selle maatriksi astmelises kujus oleva maatriksi astakuga. Astmelisel kujul oleva maatriksi astak on võrdne selle maatriksi nullist erinevate ridade arvuga.

Öeldakse, et lineaarvõrrandisüsteemi puhul on tegemist Crameri peajuhuga, kui võrrandite arv on võrdne tundmatute arvuga ja süsteemi maatriks on regulaarne. Kui lineaarvõrrandisüsteemi puhul on tegemist Crameri peajuhuga, siis on sellel süsteemil täpselt üks lahend.

Crameri peajuhu korral saab süsteemi lahendi leida determinantide abil:
Kui lineaarvõrrandisüsteemi puhul on tegemist Crameri peajuhuga, siis selle süsteemi lahendi $k = (k_1,...,k_n) \in K^n$ $i$-s komponent $k_i = \frac{D_i}{D}$, kus $D = |A|$ ja $D_i$ on sellise maatriksi determinant, mis on saadud maatriksist $A$ selle $i-nda$ veeru arendamisel süsteemi vabaliikmete veeruga.

Süsteemi $Ax = b$ ja $Ax = 0$ lahendite hulkade $L$ ja $L_h$ vahel kehtib seos \[ L = d_* + L_h, \] kus $d_*$ on süsteemi $Ax=b$ suvaline erilahend.

Lineaarkujutused

Olgu $V_1$ ja $V_2$ vektorruumid üle korpuse $K$. Kujutust $\varphi : V_1 \longrightarrow V_2$ nimetatakse lineaarkujutuseks, kui
1. $\varphi(a+b) = \varphi(a) + \varphi(b) \; \forall a,b \in V_1$, s.t $\varphi$ säilitab liitmise
2. $\varphi(ka) = k \varphi(a) \; \forall a \in V_1$ ja $k \in K$, s.t $\varphi$ säilitab skalaariga korrutamise

Lineaarkujutuse $\varphi : V_1 \longrightarrow V_2$ korral $\varphi(0) = 0$ ja $\varphi(-a) = - \varphi(a)$, s.t lineaarkujutus säilitab nullelemendi ja vastandelemendid.

Olgu $V_1$ ja $V_2$ vektorruumid üle korpuse $K$, olgu $\varphi, \phi \in \text{Hom}(V_1, V_2)$ ja $k \in K$.
Defineerime kujutused $\varphi + \phi \; $ $k \varphi : V_1 \longrightarrow V_2$ võrdustega \[ (\varphi + \phi)(a) := \varphi(a) + \phi(a) \text{ ja } (k\varphi)(a) = k \varphi(a), \; a \in V_1 \] Kui $V_1$ ja $V_2$ on vektorruumid üle korpuse $K$, siis hulk $\text{Hom}(V_1,V_2)$ on vektorruum eespool defineeritud liitmise ja skalaariga korrutamise suhtes.

Lineaarkujutuse $\varphi : V_1 \longrightarrow V_2$
1. tuumaks nimetatakse hulka $\text{Ker } \varphi = \{ a \in V_1 \; | \; \varphi(a) = 0 \} \subseteq V_1$
2. kujutiseks nimetatakse hulka $\text{Im } \varphi = \{ \varphi(a) | a \in V_1 \} \subseteq V_2$

Lineaarkujutus $\varphi : V_1 \longrightarrow V_2$ on üksühene parajasti siis, kui $\text{Ker } \varphi = \{ 0 \}$.
Lineaarkujutus $\varphi : V_1 \longrightarrow V_2$ on pealekujutus parajasti siis, kui $\text{Im } \varphi = V_2$.

Olgu $V_1$ ja $V_2$ vektorruumid üle korpuse $K$. Lineaarkujutuse $\varphi : V_1 \longrightarrow V_2$ tuum on vektorruumi $V_1$ alamruum ja kujutis on vektorruumi $V_2$ alamruum.

Vektorruume $V_1$ ja $V_2$ nimetatakse isomorfseteks, kui leidub bijektiivne lineaarkujutus $f : V_1 \longrightarrow V_2$. Tähistatakse $V_1 \cong V_2$.

Olgu $V_1$ ja $V_2$ vektorruumid üle korpuse $K$, olgu $e = \{ e_1,...,e_n \}$ vektorruumi $V_1$ baas ja olgu $\phi : e \longrightarrow V_2$ suvaline kujutus. Siis leidub lineaarkujutus $\varphi : V_1 \longrightarrow V_2$ nii, et $\varphi(e_i) = \phi(e_i)$ iga $i \in \{ 1,...,n \}$ korral. Leides vektorruumi $V_1$ baasi $\vec{e} = (\vec{e}_1,...,\vec{e}_n)$ iga vektori $\vec{e}_i$ kujutise $\varphi(\vec{e}_i)$ vektorruumi $V_2$ baasi $\vec{e}' = (\vec{e}_1^{'},...,\vec{e}_n^{'})$ vektorite lineaarkombinatsioonina \[\varphi(\vec{e}_i) = a_{1i} \vec{e}_{1}^{'} + a_{2i}\vec{e}_{2}^{'} + ... + \vec{a}_{mi}e_{m}^{'} = \sum_{j=1}^{n} a_{ji}\vec{e}_j,\] saame moodustada lineaarkujutuse $\varphi$ maatriksi baaside $e$ ja $e'$ suhtes: \[ A_{\varphi}^{e,e'} := \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \] mille $i$-nda veeruvektori $(i \in \{ 1,...,n \})$ komponendid on vektori $\varphi(e_i)$ koordinaadid baasi $e'$ suhtes. Seda maatriksit tähistatakse sümboliga $A_{\varphi}^{e,e'}$. Vektorruumi $V_1$ mistahes elemendi $x$ kujutis $\varphi(x)$ on võrdne selle vektori korrutamisega lineaarkujutuse maatriksiga $A_{\varphi}^{e,e'}$, s.t $\overline{\varphi(x)_{e'}} = A_{\varphi}^{e,e'}\bar{x}_e$, kus $\bar{x}_e = (x_1, . . . , x_n)^T$.

Olgu $V_1$ $n$-mõõtmeline ja $V_2$ $m$-mõõtmeline vektorruum üle korpuse $K$. Siis vektorruumid $\text{Hom}(V_1,V_2)$ ja $\text{Mat}_{m,n}(K)$ on isomorfsed.

Lineaarkujutust vektorruumist $V$ iseendasse nimetatakse vektorruumi $V$ lineaarteisenduseks. Lineaarteisenduse $\varphi$ maatriks baasi $e$ suhtes on $A_{\varphi}^{e}$.

Vektorruumi $V$ lineaarteisenduste korrutamine defineeritakse järjestrakendamise abil: \[ (\phi \varphi)(a) = \phi(\varphi(a)) \; \; \; \phi,\varphi \in \text{End}(V), a \in V \] Hulk $\text{End}(V)$ on ring lineaarteisenduste liitmise ja korrutamise suhtes.

Ringid $\text{End}(V)$ ja $\text{Mat}_n(K)$ on isomorfsed:
1. $A_{\varphi + \phi}^{e,e'} = A_{\varphi}^{e,e'} + A_{\varphi}^{e,e'}$
2. $A_{k \varphi}^{e,e'} = k A_{\varphi}^{e,e'}$
3. $A_{\varphi \phi}^{e} = A_{\varphi}^{e} \cdot A_{\phi}^{e}$

Üleminekumaatriksiks baasilt $e$ baasile $e'$ nimetatakse maatriksit, mille $i$-ndas veerus on vektori $e_{i}^{'}$ koordinaadid baasi $e$ suhtes. Seda maatriksit tähistatakse $T^{e,e'}$. Seega kui $T^{e,e'} = (t_{ij}) \in \text{Mat}_n(K)$, siis kehtivad seosed \[ e_{i}^{'} = t_{1i}e_1 + t_{2i}e_2 + . . . + t_{ni}e_n = \sum_{j=1}^{n} t_{ji}e_j \] Maatrikseid $A,B \in \text{Mat}_n(K)$ nimetatakse sarnasteks ($A \backsim B$), kui leidub selline regulaarne maatriks $T \in \text{Mat}_n(K)$, et $B = T^{-1}AT$.

Olgu $V$ $n$-mõõtmeline vektorruum üle korpuse $K$ ja olgu $e,e'$ selle vektorruumi baasid ja olgu $\varphi$ selle vektorruumi lineaarteisendus. Siis \[ A_{\varphi}^{e'} = T^{-1}A_{\varphi}^{e}T, \] kus $T = T^{e,e'}$.

Maatriksid $A,B \in \text{Mat}_n(K)$ on sarnased parajasti siis, kui nad on mingi vektorruumi $V$ mingi lineaarteisenduse maatriksid mingite baaside suhtes.

Lineaarteisenduse omavektorid ja omaväärtused

Vektorit $0 \neq a \in V$ nimetatakse lineaarteisenduse $\varphi$ omavektoriks, kui leidub selline $\lambda \in K$, et $\varphi(a) = \lambda a$ ja arvu $\lambda$ nimetatakse omavektori $a$ omaväärtuseks.

Ruutmaatriksi $A$ karakteristlikuks polünoomiks nimetatakse polünoomi $|A - \lambda E|$ ning maatriksi $A$ omaväärtuseks nimetatakse selle maatriki karakteristliku polünoomi juuri. Lineaarteisenduse karakteristlikuks polünoomiks nimetatakse selle lineaarteisenduse maatriksi karakterislikku polünoomi ning lineaarteisenduse omaväärtusteks nimetatakse selle teisenduse karakteristliku polünoomi juuri.

Lineaarteisenduse karakteristlik polünoom ei sõltu sellest, millise baasi suhtes maatriksit vaatleme.

Sarnaste maatriksite karakteristlikud polünoomid on võrdsed.

Eeskiri omavektorite leidmiseks.

1. Leiame lineaarteisenduse $\varphi$ maatriksi $A$ mingi baasi $e$ suhtes.
2. Leiame polünoomi $|A-\lambda E|$ juured $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m$.
3. Iga $\lambda_i$ jaoks lahendame homogeense lineaarse võrrandisüsteemi $A-\lambda_i E$. Selle süsteemi lahendivektorid(nullist erinevad) on parajasti lineaarteisenduse $\varphi$ omavektorite koordinaatide vektorid baasi $e$ suhtes.

Lineaarteisenduse $\varphi$ maatriks baasi $\{ e_1,...,e_n\}$ suhtes on diagonaalmaatriks parajasti siis, kui see baas koosneb teisenduse $\varphi$ omavektoritest.