Kompleksanalüüs

Kompleksarvud

Kompleksarvudeks nimetatakse arve kujul $z = a + ib$, kus $a,b \in \mathbb{R}$ ja $i^2 = -1$.
Kompleksarvu reaalosa Re($a + ib$) = $a$ ning imaginaarosa Im($a + ib$) = $b$.

Kõigi kompleksarvude hulk $\mathbb{C} := \{ a + ib \; | \; a,b \in \mathbb{R}, \; i^2=-1 \}$ moodustab korpuse liitmise $(a + ib) + (c + id) = (a+c) + i(b+d)$ ja korrutamise $(a + ib)(c + id) = (ac-bd) + i(ad + bc)$ suhtes.

Imaginaarühiku astmed $i^{4n} = 1, \; \; i^{4n+1} = i, \; \; i^{4n+2} = -1, \; \; i^{4n + 3} = -4$ iga $n \in \mathbb{N_0}$ korral.

Kompleksarvud $z = a + ib$ saab seada üksühesesse vastavusse koordinaattasandi $\mathbb{R}^2$ punktidega $(a,b)$ ning saadud tasandit nimetatakse komplekstasandiks, mille horisontaalteljeks on kompleksarvu reaalosa Re ning vertikaalteljeks on imaginaarosa Im.

Kompleksarvu $z$ moodul $|z| := \sqrt{a^2 + b^2}$ defineeritakse kui selle kompleksarvu kaugus komplekstasandi nullpunktist.
Lehtib kolmnurga võrratus: $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$

Polaarkoordinaatides $x = \cos \varphi, \; y = \sin \varphi$ saab kompleksarvu esitada trigonomeetrilisel kujul $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, kus $r = |z|$ ja nurka $\varphi$ nimetatakse selle kompleksarvu argumendiks.



Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude $z_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)$ ja $z_2 = r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)$
1. korrutis $z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i(\varphi_1 + \varphi_2))$;
2. jagatis $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\varphi1-\varphi_2) + i \sin(\varphi_1-\varphi_2))$;
3. astendamine $z^n = r^n (\cos n \varphi + i \sin n \varphi)$;
4. juurimine $\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}\Big( \cos \frac{\varphi + 2 \pi k}{n} + i \sin \frac{\varphi + 2 \pi k}{n} \Big), \; \; k = 0,1,2,...,n-1$.

Arvestades kompleksarvu trigonomeetrilist kuju $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, saab Euleri valemi $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ abil kompleksarvu $z$ esitada eksponentkujul $z = re^{i \varphi}$.

Eksponentkujul esitatud kompleksarvude $z_1 = r_1 e^{i \varphi_1}$ ja $z_2 = r_2 e^{i \varphi_2}$
1. korrutis $z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}$;
2. jagatis $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\varphi_1 - \varphi_2)}$;
3. astendamine $z^n = r^n e^{in\varphi}$.

Kompleksarvu $z = x + iy$ kaaskompleksarvuks nimetatakse kompleksarvu $\bar{z} = x - iy$.
Kompleksarvu moodul ja tema kaaskompleksarv on seoses $z \overline{z} = |z|^2$.

Mandelbrot'i hulk

Mandelbrot'i hulk koosneb kompleksarvudest $c$, mille iteratsioon $z_{n+1} = z_n^2 + c$ ($z_0 = 0$) jääb piiratuks. Väljaspool hulka punktid hajuvad; piirkonna sügavamal uurimisel ilmuvad uusi detailseid struktuure, mistõttu arvutatakse seal rohkem iteratsioone.

Kompleksmuutuja funktsioonid

Kompleksmuutuja funktsiooniks nimetatakse eeskirja $f : X \longrightarrow Y$, mis hulga $X \subset \mathbb{C}$ igale kompleksarvule $z$ seab vastavusse üheselt määratud kompleksarvu hulgast $Y \subset \mathbb{C}$. Asjaolu, et kompleksarvule $z$ seatakse vastavusse komplesarv $w$, tähistatakse $w = f(z)$, kus arvu $z$ nimetatakse argumendiks ja arvu $w$ nimetatakse funktsiooni väärtuseks kohal $z$. Hulka $X$ nimetatakse funktsiooni $f$ määramispiirkonnaks ning hulka $f(X) := \{ f(z) \; | \; z \in X \}$ nimetatakse väärtuste hulgaks.

Kui igale kompleksarvule $z \in X$ on ühe elemendi asemel seatud vastavusse mingi kompleksarvude hulga mittetühi alamhulk, siis öeldakse, et hulgal $X$ on defineeritud mitmene funktsioon.

Kui igale kujutisele vastab ainult üks originaal, siis funktsiooni nimetatakse üheleheliseks, vastasel juhul mitmeleheliseks.
Ühelehelistel funktsioonidel $f : X \longrightarrow Y$ leidub pöördfunktsioon $f^{-1} : Y \longrightarrow X$.

Kompleksmuutuja funktsiooni $f(z)$ väärtusteks on kompleksarvud, mille reaal- ja imaginaarosa kordajad on funktsioonid argumendi $z = x + iy$ reaal- ja imaginaarosa väärtustest, s.t $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$.

Mõned olulised kompleksmuutuja funktsioonid on
1. Riemanni zeta funktsioon \[ \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \] 2. Gammafunktsioon \[ \Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} x^{z-1}e^{-x} \text{d}x, \; \; \mathcal{Re}(z) > 0 \] 3. Beetafunktsioon \[ B(x,y) = \int_{0}^{1} t^{x-1} (1-t)^{y-1} \text{d}t, \; \; \mathcal{Re}(x) > 0, \; \; \mathcal{Re}(y) > 0 \] Gamma- ja Beetafunktsiooni vaheline seos \[ B(x,y) = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \]

Piirväärtus ja pidevus

Punkti $z_0 \in \Bbb{C}$ ümbruseks nimetatakse hulka $U_{\varepsilon}(z_0) = B(z_0, \varepsilon) = \{ z \in \Bbb{C} : |z-z_0| < \varepsilon \}$.
Punkti $z_0$ nimetatakse hulga $X \subset \mathbb{C}$ kuhjumispunktiks, kui selle punkti iga ümbruse $B(z_0, \varepsilon)$ korral $B(z_0, \varepsilon) \cap X \neq \emptyset$, s.t punkti $z_0$ iga ümbrus sisaldab hulga $X$ punkte.

Olgu funktsioon $f$ määratud hulgal $D$ ning olgu $z_0 \in \bar{\mathbb{C}}$ hulga $D$ kuhjumispunkt.
Suurust $A \in \bar{\mathbb{C}}$ nimetatakse funktsiooni $f$ piirväärtuseks punktis $z_0$, kui iga punkti $A$ ümbruse $U_{\varepsilon}(A)$ korral leidub punkti $z_0$ ümbrus $U(z_0)$ ümbrus nii, et kui $z \in U(z_0) \cap D$, siis $f(z) \in U_{\varepsilon}(A)$.

Teoreem. Olgu $f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)$ ning olgu $z_0 = x_0 + iy_0$ funktsiooni $f$ originaalide hulga kuhjumispunkt. Siis $\lim_{z \rightarrow z_0}f(z) = a + ib$ parajasti siis, kui $\lim_{x,y \rightarrow x_0,y_0} u(x,y) = a$ ja $\lim_{x,y \rightarrow x_0,y_0} v(x,y) = b$.

Olgu funktsioon $f$ määratud hulgal $D$ ning olgu $z_0 \in D$ hulga $D$ kuhjumispunkt.
Funktsiooni $f$ nimetatakse pidevaks punktis $z_0$, kui $\lim_{z \rightarrow z_0} f(z) = f(z_0)$.

Olgu iga hulga $D$ punkt ühtlasi ka tema kuhjumispunkt (näiteks $D$ on piirkond või kinnine piirkond või pidev joon).
Funktsiooni $f$ nimetatakse ühtlaselt pidevaks hulgas $D$, kui iga $\varepsilon \gt 0$ korral leidub $\delta \gt 0$ nii, et kui $z_1,z_2 \in D$ ja $|z_1 - z_2| \lt \delta$, siis $|f(z_1) - f(z_2)| \lt \varepsilon$.

Lause. Funktsioon $f$ on pidev punktis $z_0 = x_0 + i y_0$ parajasti siis, kui funktsioonid $u$ ja $v$, kus $f(x + iv) = u(x,y) + iv(x,y)$, on pidevad punktis $(x_0,y_0)$.

Holomorfsed ning analüütilised funktsioonid

Kompleksmuutuja funktsiooni $f$ nimetatakse diferentseeruvaks $D$ sisepunktis $z$, kui iga nulliks koonduva jada $h_n \rightarrow 0$ korral leidub lõplik piirväärtus \[ f'(z) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h}\] ning need piirväärtused on kõik võrdsed. Sellisel juhul nimetatakse seda piirväärtust funktsiooni $f$ tuletiseks punktis $z$.

Kompleksmuutuja funktsiooni tuletisel on samad omadused nagu reaalmuutuja funktsiooni tuletisel: lineaarsus, funktsioonide korrutise ja jagatise tuletise valemid ning liitfunktsiooni tuletise valemid. Funktsiooni $f$ nimetatakse holomorfseks piirkonnas $D$, kui ta on diferentseeruv piirkonna $D$ igas punktis.

Funktsiooni $f$ nimetatakse holomorfseks punktis $z$, kui ta on diferentseeruv punkti $z$ mingis ümbruses.

Cauchy-Riemanni võrrandid
Kui funktsioon $f(z) = u(x,y) + v(x,y)i$ on holomorfne piirkonnas $D$, siis \[\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \text{ ja } \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\] piirkonnas $D$. Kui lisaks eelnevatele võrdustele on $f$ või tema osatuletised pidevad, siis kehtib ka vastupidine implikatsioon.

Funktsiooni $f$ nimetatakse analüütiliseks punktis $z_0$, kui ta on punkti $z_0$ mingis ümbruses arendatav astmeritta \[ f(z) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k (z-z_0)^k \] Selle astmerea koonduvusraadiuseks on kaugus punktist $z_0$ talle lähima singulaarse punktini. Singulaarne punkt on punkt, kus $f$ pole diferentseeruv.

Analüütiliste funktsioonide ainsuse teoreem. Olgu $g$ ja $g$ analüütilised piirkonnas $D$ ning võrdsed hulgal $E \subset D$, millel on vähemalt üks kuhjumispunkt piirkonnas $D$. Siis $f$ ja $g$ on võrdsed hulgas $D$.

Järeldus. Funktsioon $e^z, \; \sin \, z, \; \cos \, z, \; \tan \, z,...$ on ühesed sellised analüütilised funktsioonid, mis reaalteljel langevad kokku vastavatere reaalmuutuja funktsioonidega. Funktsioonid $\ln \, z$ ja $\sqrt[n]{z}$ peaosa on samuti ühesed ja sellised analüütilised funktsioonid, mis reaalteljel langevad kokku vastavate reaalmuutuja funktsioonidega ning selle väljalõige paikneb piki reaaltelje negatiivsed osa.

Iga punktis $a$ holomorfne funktsioon on selles punktis analüütiline ning iga punktis $a$ analüütiline funktsioon on selles punktis holomorfne, kusjuures tema Taylori rida punktis $a$ koondub suurimas ringis $B(a,R)$, milles funktsioon on holomorfne.

Kui $f(z) = u(x,y) + v(x,y)i$ on holomorfne piirkonnas $R$, siis tema reaal- ja imaginaarosa funktsioonide korral kehtivad Laplace'i võrrandid \[ \nabla^2 u := \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \text{ ja } \nabla^2 u := \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0 \] Selliseid funktsiooni nimetatakse harmoonilisteks funktsiooniks, seega iga piirkonnas $R$ holomorfse funktsiooni reaal- ja imaginaarosa funktsioonide on harmoonilised selles piirkonnas.

Teoreem. Olgu $f$ analüütiline punkti $z_0$ ümbruses. Siis $f$ on pööratav punkti $z_0$ mingis ümbruses parajasti siis, kui $f'(z_0) \neq 0.$

Järeldus. Mittekonstantse analüütiline funktsioon kujutab lahtise hulga lahtiseks hulgaks ja piirkonna piirkonnaks.
Järeldus. Analüütilise funktsiooni pöördfunktsioon on analüütiline.

Nullkohad ning isoleeritud iseärased punktid

Arvu $z_0$ nimetatakse funktsiooni $f$ nullkohaks, kui $f(z_0) = 0$. Arvu $z_0$ nimetatakse funktsiooni $f$ $n$-järku nullkohaks, kui $f(z_0) = f'(z_0) = ... = f^{(n-1)}(z_0) = 0$ ja $f^{(n)}(z_0) \neq 0$.

Funktsioonil $f$ on punktis $z_0$ $n$-järku nullkoht parajasti siis, kui $\varphi(z) = \frac{f(z)}{(z-z_0)^n}$ on analüütiline punktis $z_0$ ja $\varphi(z_0) \neq 0$.

Mittekonstantsel analüütilised funktsioonil on kinnises tõkestatud piirkonnas ülimalt lõplik arv nullkohti. Piirkonnas $D$ mittekonstantsel analüütilisel funktsioonil on ülimalt loenduv arv nullkohti selles piirkonnas. Mittekonstantse analüütilise funktsiooni nullkohad on isoleeritud, s.t iga nullkoha jaoks leidub selle nullkoha ümbrus, mis ei sisalda teisi selle funktsiooni nullkohti.

Punkti $z_0$ nimetatakse funktsiooni iseäraseks punktiks, kui $f$ pole holomorfne punktis $z_0$. Funktsiooni $f$ iseärast punkti $z_0$ nimetatakse isoleeritud iseäraseks punktiks, kui leidub punkti $z_0$ ümbrus, kus pole teisi iseäraseid punkte peale $z_0$.

Olgu punkt $z_0$ funktsiooni $f$ isoleeritud iseärane punkt.
Punkti $z_0$ nimetatakse funktsiooni $f$ kõrvaldatavaks iseäraseks punktiks, kui leidub lõplik piirväärtus $\lim_{z \rightarrow z_0} f(z)$. Punkti $z_0$ nimetatakse funktsiooni $f$ pooluseks, kui $\lim_{z \rightarrow z_0} f(z) = \infty$.

Punkti $z_0$ nimetatakse funktsiooni $f$ oluliselt iseäraseks punktis, kui ei leidu piirväärtust $\lim_{z \rightarrow z_0}f(z)$.

Taylori ja Laurenti read

Kui $f(z)$ on piirkonnas $R$ holomorfne, siis ta on selle piirkonna igas punktis lõpmatult diferentseeruv. Sellest tulenevalt saab piirkonnas $R$ holomorfset funktsiooni tema igas punktis $x_0$ arendada Taylori ritta \[ T(z) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(z-z_0)^k. \] Funktsiooni $f$ Laurenti rida üldistab Taylori rida kompleksmuutuja funktsioonidele. Funktsiooni $f$ Laurenti rida punktis $z_0$ on \[ f(z) = \sum_{k = -\infty}^{\infty}c_k(z-z_0)^k = \sum_{k=0}^{-\infty} a_k (z - z_0)^k + \sum_{k=0}^{-\infty} b_k (z - z_0)^{-k}, \] kus selle rea esimest summat nimetatakse analüütiliseks osaks ning teist summat põhiosaks ning selle rea kordajad \[ c_k = \frac{1}{2 \pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{(z-c)^{n+1}} \text{d}z. \] Funktsiooni Laurent'i rida.
Olgu funktsioon $f$ regulaarne rõngas $D = \{ z \in \mathbb{C} : r \lt |z-a| \lt R \}$ (siin võib olla $R = 0$ või $R = \infty$). Siis \[ f(z) = \sum_{n= - \infty}^{\infty} c_n (z-a)^n, \; z \in D, \text{ kus } c_n = \frac{1}{2 \pi i} \int_{|\zeta - a| = \rho} \frac{f(\zeta) \text{d} \zeta}{(\zeta-a)^{n+1}}, \; r \lt \rho \lt R. \] Kui $f$ on ka pidev kuni rajani rõngas $D$, siis võib võtta $r \leq \rho \leq R$.

Cauchy võrratus. Olgu $f$ regulaarne rõngas $D$. Olgu $M_{\rho} = \max_{|z| = \rho} |f(z)|, \; r \lt \rho \lt R$. Siis funktsioon $f$ Laurent'i rea punktis $a$ kordajate jaoks kehtib võrratus $|c_n| \leq \frac{M_{\rho}}{\rho^n}$, kus $r \lt \rho \lt R$. Kui $f$ on ka pidev kuni rajani rõngas $D$, siis võime võtta $r \leq \rho \leq R$.

Rida $f(z) = \sum_{n= - \infty}^{\infty} c_n (z-a)^n, \; z \in D$ nimetatakse funktsiooni $f$ Laurent'i reaks rõngas $D$. Laurent'i rea osa $\sum_{n=0}^{\infty}c_n (z-a)^n$ nimetatakse Laurent'i rea korrapäraseks osaks, osa $\sum_{n= - \infty}^{-1} c_n (z-a)^n$ nimetatakse Laurent'i rea peaosaks.

Laurent'i rea $\sum_{n= - \infty}^{\infty}c_n (z-a)^n$ koonduvusrõngaks nimetatakse suurimat rõngast $\{ z \in \mathbb{C} : r \lt |z-a| \lt R \}$, kus rida koondub.

Laurent'i rea regulaarsus. Iga rida kujul $\sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n (z-a)^n$, mis koondub mingis rõngas $\{ z \in \mathbb{C} : r \lt |z-a| \lt R \}$, kus $r \lt R$, on regulaarne selles rõngas ning teda võib selles rõngas liikmeti diferentseerida ja integreerida.

Laurent'i rea ühesus. Iga rida kujul $\sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n (z-a)^n$, mis koondub mingis rõngas $\{ z \in \mathbb{C} : r \lt |z-a| \lt R \}$, kus $r \lt R$, on oma summa Laurent'i rida selles rõngas.

Kõrvaldatav iseärasus. Olgu $a$ funktsiooni $f$ isoleerutud iseärane punkt ning olgu $f$ tõkestatud punkti $a$ mingis ümbruses. Siis funktsioonil $f$ on punktis $a$ kõrvaldatav iseärasus ning funktsiooni $f$ Laurent'i rida selle punkti ümbruses ei sisalda peaosa. Kui funktsioonil $f$ on punktis $a$ kõrvaldatav iseärasus, siis defineerides $f(a) = \lim_{z \rightarrow a} f(z)$ saame uue funktsiooni, mis on regulaarne punktis $a$. Kui funktsiooni $f$ isoleeritud iseärane punkt $a$ on kõrvaldatav iseärane punkt parajasti siis, kui selle punkti ümbruses tema Laurent'i real peaosa puudub.

Olgu funktsioonil $f$ poolus punktis $a$. Siis funktsioonil $g(z) = \frac{1}{f(z)}$ on kõrvaldatav iseärasus punktis $a$ ning $\lim_{z \rightarrow a}g(z) = 0$. Defineerides $g(a) = 0$, saame punktis $a$ regulaarse funktsiooni, millel on nullkoht selles punktis.

Funktsiooni $f$ pooluse järguks punktis $a$ nimetatakse funktsiooni $g(z) = \frac{1}{f(z)}$ nullkoha kordsust punktis $a$.

Funktsioonil $f$ isoleeritud iseärane punkt $a$ on poolus parajasti siis, kui selle punkti ümbruses tema Laurent'i rea peaosa sisaldab lõpliku arvu nullist erinevaid liikmeid, kusjuures pooluse järk on võrdne vähima indeksiga nullist erineva liikme indeksi vastandarvuga. \[ \text{Funktsioonil } f \text{ on punktis a m jarku poolus } \Leftrightarrow f(z) = \sum_{n = -m}^{\infty} c_n (z-a)^n, \; \; z \in B(a,R) \setminus \{ a \}, \; c_{-m} \neq 0. \] Iseärase punkti tüübi ja Laurent'i rea peaosa vaheline seos.
Olgu funktsioonil $f$ punktis $a \in \mathbb{C}$ isoleeritud iseärasus. Siis
1. funktsioonil $f$ on punktis $a$ kõrvaldatav iseärasus parajasti siis, kui selle punkti ümbruses tema Laurent'i rea peaosa puudub;
2. funktsioonil $f$ on punktis $a$ poolus parajasti siis, kui selle punktis ümbruses tema Laurent'i rea peaosa sisaldab lõpliku arvu nullist erinevaid liikmeid, kusjuures pooluse järk on võrdne vähima indeksiga nullist erineva liikme indeksi vastandarvuga;
3. funktsioonil $f$ on punktis $a$ oluline iseärasus parajasti siis, kui selle punkti ümbruses tema Laurent'i rida sisaldab lõpmatu arvu nullist erinevaid liikmeid.

Casorati-Weierstrass (Sohhotski) teoreem. Olgu funktsioonil $f$ punkis $a \in \mathbb{C}$ oluline iseärasus. Siis iga $A \in \bar{\mathbb{C}}$ korral leidub selline jada $(z_n)$, et $\lim_{n \rightarrow \infty}z_n = a$ ja $\lim_{n \rightarrow \infty}f(z_n) = A$.

Picardi Suur Teoreem. Olgu funktsioonil $f$ punktis $a \in \bar{\mathbb{C}}$ oluline iseärasus. Siis leidub selline $B \in \mathbb{C}$, et iga $A \in \bar{\mathbb{C}} \setminus \{ B \}$ korral leidub selline jada $(z_n)$, et $\lim_{n \rightarrow \infty}z_n = a$ ja $f(z_n) = A$.

Näide. $e^{\frac{1}{z}}, \; \; a = 0$.

Funktsiooni käitumine lõpmatuspunktis

Kui $f$ on regulaarne piirkonnas $\mathbb{C} \setminus B(0,R)$, siis öeldakse, et funktsioonil $f$ on lõpmatuspunktis isoleeritud iseärasus. Iseärasuse tüüp defineeritakse samamoodi kui lõpliku punkti korral.

Funktsiooni Laurent'i rida lõpmatuse ümbruses on kujul $f(z) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} c_n z^n$. Siis peaosaks on $f(z) = \sum_{n=1}^{\infty}c_n z^n$ ja korrapäraseks osaks on $f(z) = \sum_{n = - \infty}^{0} c_n z^n$.

Iseärase punkti tüübi ja Laurent'i rea peaosa vahel kehtib samasugune seos nagu lõpliku punkti puhul.

Kui funktsioonil $f$ on lõpmatuspunktis kõrvaldatav iseärasus, siis defineerime $f(\infty) = \lim_{z \rightarrow \infty} f(z)$ ning ütleme, et $f$ on regulaarne lõpmatuspunktis.

Liouville'i teoreem. Kui funktsioon on regulaarne täielikul komplekstasandil, siis ta on konstantne.

Analüütiliste funktsioonide klassid

Kogu komplekstasandil regulaarset funktsiooni nimetatakse täisfunktsiooniks.
Kui $f$ on täisfunktsioon, siis on 3 võimalust:
1. kui funktsioon on regulaarne lõpmatuspunktis, siis ta on konstantne;
2. kui funktsioonil on lõpmatuspunktis poolus, siis ta on polünoom;
3. kui lõpmatuspunktis on oluline iseärasus, siis nimetatakse funktsiooni täistranstsendentseks funktsiooniks, nt $e^z, \; \sin z, \; \cos z.$

Picardi Väike Teoreem. Kui $f$ on mittekonstantne täisfunktsioon, siis kas $f(\mathbb{C}) = \mathbb{C}$ või $f(\mathbb{C}) = \mathbb{C} \setminus \{ a \}$ mingi $a \in \mathbb{C}$ korral.

Integraal kompleksmuutuja funktsioonist

Integraali mõiste ja omadused

Lihtsaks Jordani jooneks nimetatakse punktihulk $\{ z = z(t) : t \in [\alpha,\beta]\}$, kus $z = z(t)$ on pidev funktsioon ning $z(t_1) \neq z(t_2)$, kui $t_1,t_2 \in [\alpha,\beta], \; \; t_1 \neq t_2$. Erandina on lubatud $z(\alpha) = z(\beta)$, sel juhul joont nimetatakse kinniseks.

Lihtsat Jordani joont nimetatakse siledaks, kui $z'$ on pidev lõigul $[\alpha,\beta]$. Joont, mis on jaotatav lõplikuks arvuks siledateks osadeks nimetatakse tükiti siledaks.

Olgu $F(t) = U(T) + iV(T)$ kompleksväärtustega reaalmuutuja funktsioon, mis on pidev lõigul $[\alpha, \beta]$. Defineerime \[ \int_{\alpha}^{\beta} F(t) \text{d}t = \int_{\alpha}^{\beta} U(t) \text{d}t + i \int_{\alpha}^{\beta} V(t) \text{d}t. \] Omadused:
\[ \text{Re } \int_{\alpha}^{\beta} F(t) \text{d}t = \int_{\alpha}^{\beta} \text{Re }F(t) \text{d}t, \; \; \; \; \text{Im } \int_{\alpha}^{\beta} F(t) \text{d}t = \int_{\alpha}^{\beta} \text{Im }F(t) \text{d}t\] \[ \int_{\alpha}^{\beta} A F(t) \text{d}t = A \int_{\alpha}^{\beta} F(t) \text{d}t \] \[ \int_{\alpha}^{\beta} (F_1(t) + F_2(t) )\text{d}t = \int_{\alpha}^{\beta} F_1(t) \text{d}t + \int_{\alpha}^{\beta} F_2(t) \text{d}t \] \[ | \int_{\alpha}^{\beta} F(t) \text{d}t | \leq \int_{\alpha}^{\beta} | F(t) | \text{d}t \] Olgu $f$ pidev tükiti siledal joonel $\gamma : z = z(t), \; \; t \in [\alpha,\beta].$ Defineerime \[ \int_{\gamma} f(z) \text{d}z = \int_{\alpha}^{\beta} f(z(t)) z'(t) \text{d}t. \] Seos teist liiki joonintegraaliga: olgu $f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)$ ning olgu $\gamma_{\mathbb{R}}$ joonele $\gamma$ vastav joon reaalsel tasandil. Siis \[ \int_{\gamma} f(z) \text{d}z = \int_{\gamma_{\mathbb{R}}} u(x,y) \text{d}x - v(x,y) \text{d}y + i \int_{\gamma_{\mathbb{R}}} v(x,y) \text{d}x + u(x,y) \text{d}y. \] Kompleksmuutuja funktsiooni integraalil ja joonintegraalil on sarnased omadused reaalmuutuja funktsiooni integraalide ja joonintegraalidega. 2. Integraal ei sõltu joone $\gamma$ parametriseeringust.

3. Aditiivsus: kui $\gamma = \gamma_1 \cup \gamma_2$, kusjuures $\gamma_1$ lõpp-punkt on $\gamma_2$ alguspunkt, siis \[ \int_{\gamma} f(z) \text{d}z = \int_{\gamma_1} f(z) \text{d}z + \int_{\gamma_2} f(z) \text{d}z. \] 4. Lineaarsus: \[ \int_{\gamma} (A f(z) + B g(z)) \text{d}z = A \int_{\gamma} f(z) \text{d}z + B \int_{\gamma}g(z) \text{d}z. \] 5. Joone suuna muutus: koosneva $-\gamma$ samadest punktidest, mis $\gamma$, aga vastupidses järjekorras. Siis \[ \int_{-\gamma} f(z) \text{d}z = - \int_{\gamma}f(z) \text{d}z. \] 6. Integraali mooduli hindamine: \[ | \int_{\gamma} f(z) \text{d}z | \leq \int_{\gamma} |f(z)| |\text{d}z|, \; \; \text{ kus } |\text{d}z| = |z'(t)| \text{d}t. \] Järeldus. Kui $|f(z)| \leq M$ tükiti siledal joonel $\gamma$, siis $|\int_{\gamma}f(z) \text{d}z| \leq M s_{\gamma}$, kus $s_{\gamma}$ on joone $\gamma$ pikkus.



Cauchy teoreem. Kui funktsioon $f$ on holomorfne tõkestatud ühelisidusas piirkonnas $D \subset \mathbb{C}$, siis \[ \oint_{\gamma} f(z) \text{d}z = 0 \] iga kinnise sirgestuva joone $\gamma \subset D$ korral.

Cauchy teoreemi järeldusena kehtib diferentsiaal- ja integraalarvutuse põhiteoreemile sarnane tulemus. Olgu $D$ hulga $\mathbb{C}$ ühelisidus lahtine alamhulk. Kui funktsioon $f : D \rightarrow \mathbb{C}$ on holomorfne ja $\gamma \subset D$ on tükiti pidevalt diferentseeruv joon, siis \[ \int_{\gamma} f(z) \text{d}z = F(b) - F(a), \] kus $F$ on funktsiooni $f$ algfunktsioon ($F' = f$) ja $a$ ning $b$ on vastavalt joone $\gamma$ algus- ning lõppunktid. Sellest järeldub omakorda, et Cauchy teoreemi eeldustel ei sõltu $\int_{\Gamma} f(z) \text{d}z$ joonest $\Gamma$, vaid ainult selle otspunktidest.

Cauchy valem. Olgu $f$ regulaarne tõkestatud funktsioon piirkonnas $D$ ning pidev kuni tükiti sileda rajani $\Gamma$. Siis iga punkti $a \in D$ korral \[ f(a) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\Gamma} \frac{f(z)}{z - a} \text{d} z \] Veel enam, olgu $f$ regulaarne tõkestatud funktsioon piirkonnas $D$ ning pidev kuni tükiti sileda rajani $\Gamma$. Siis $f$ on kuitahes palju kordi diferentseeruv piirkonnas $D$ ning \[ f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2 \pi i} \int_{\Gamma} \frac{f(z)}{(z - a)^{(n+1)}} \text{d} z\] iga punkti $a \in D$ korral.

Cauchy võrratus. Olgu $f$ regulaarne ringis $B(z,R)$ ning pidev kuni rajani. Olgu $|f(\zeta)| \leq M$, kui $|\zeta - z| = R$. Siis \[ |f^{(n)}(z)| \leq \frac{n!M}{R^n}. \] Liouville'i. Kui funktsioon $f$ on regulaarne ja tõkestatud kogu komplekstasandil, siis $f$ on konstantne.
Algebra põhiteoreem. Igal kompleksarvuliste kordajatega mittekonstantsel polünoomil on vähemalt üks kompleksarvuline nullkoht.
Morera teoreem. Olgu $f$ pidev piirkonnas $D$ ning olgu $\int_{\gamma} f(z) \text{d}z = 0$ iga kinnise joone $\gamma$ puhul selles piirkonnas. Siis $f$ on regulaarne selles piirkonnas.

Resiidide teooria

Resiidi mõiste

Funktsionaalrea summa integreeruvus. Kui funktsioonid $f_k$ on integreeruvad tükiti siledal joonel $\Gamma$ ning rida $\sum_{k}f_k(z)$ koondub ühtlaselt joonel $\Gamma$, siis on rea summa integreeruv joonel $\Gamma$ ning \[ \int_{\Gamma} \sum_{k} f_k(z) \text{d}z = \sum_{k} \int_{\Gamma} f_k(z) \text{d}z. \] Olgu funktsioonil $f$ punktis $a$ isoleeritud iseärasus ning olgu $f$ arendatud Laurent'i ritta $f(z) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} c_n (z-a)^n$ punkti $a$ mingis ümbruses $\overline{B(a,r)} \setminus \{ a \}$, kus $f$ on holomorfne. Integreerides funktsiooni $f(z)$ ja tema Laurent'i rea arendust ringjoonel $|z-a| = r$, saame \[ \int_{|z-a| = r} f(z) \text{d}z = \int_{|z-a| = r} \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n (z-a)^n = \sum_{n = -\infty}^{\infty} \int_{|z-a| = r} c_n (z-a)^n \] Kuna $\int_{|z-a| = r} (z-a)^n = 0$ iga $c \neq -1$ korral ning $c=-1$ korral $\int_{|z-a| = r} (z-a)^n = 2 \pi i$ , siis \[ \int_{|z-a| = r} f(z) \text{d}z = 2 \pi i c_{-1} \] Funktsiooni $f$ resiidiks funktsiooni isoleeritud iseärases punktis $a$ nimetatakse suurust \[ \text{res }[f(z);a] := \frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma} f(z) \text{d}z, \] kus $\gamma$ on punkti $a$ sellise ümbruse raja, mis ei sisalda teisi funktsiooni $f$ iseäraseid punkte.

Kui $a \in \mathbb{C}$ on funktsiooni $f$ isoleeritud iseärane punkt, siis $\text{res }[f(z);a] = c_{-1}$. Seega kui $\text{res }[f(z);a] \neq 0$, siis funktsioonil on punktis $a$ kas poolus või oluline iseärasus. Kui $a = \infty$, siis $\text{res }[f(z); \infty] = -c_{-1}$. Kui $\text{res }[f(z);\infty] \neq 0$, siis funktsioonil $f$ võib olla mistahes isoleeritud iseärane punkt, samuti võib funktsioon olla regulaarne lõpmatuses.

Resiidide teooria põhiteoreem

Resiidide teooria põhiteoreem.
Olgu funktsioon $f$ regulaarne tõkestatud piirkonnas $D$, välja arvatud lõplik arv punkte $a_1,...,a_n$, ning pidev kuni piirkonna tükiti sileda rajani $\Gamma$. Siis \[ \int_{\Gamma} f(z) \text{d}z = 2 \pi i \sum_{k=1}^{n} \text{res }[f(z);a_k]. \] Funktsiooni, mille kõik lõplikus kauguses asuvad iseärased punktid on poolused, nimetatakse meromomorfseteks.

Meromorfse funktsiooni pooluste arv. Meromorfsel funktsioonil võib kinnises tõkestatud piirkonnas olla ainult lõplik arv pooluseid ning kogu komplekstasandil võib pooluste arv olla loenduv.

Kui funktsiooni $f$ kõik iseärased punktid täielikul komplekstasandil on poolused, siis $f$ on ratsionaalfunktsioon.

Resiidide arvutamine

Resiidi arvutamine 1. järku pooluse korral.
Olgu funktsioonil $f$ punktis $a$ esimest järku poolus. Siis \[ \text{res }[f(z);a] = \lim_{z \rightarrow a} (z-a)f(z). \] Resiidi arvutamine kõrgemat järku pooluse korral.
Olgu funktsioonil $f$ punktis $a$ $m$-järku poolus. Siis \[ \text{res }[f(z);a] = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \rightarrow a} ((z-a)^m f(z))^{(m-1)}. \] Resiidi arvutamine lõpmatuses.
Olgu $f$ regulaarne lõpmatuses. Siis \[ \text{res }[f(z); \infty] = - \lim_{z \rightarrow \infty} \; z \; \Big( f(z) - \lim_{\zeta \rightarrow \infty} f(\zeta) \Big). \] Resiidi arvutamine olulise iseärasuse korral.
Olgu funktsioonil $f$ punkis $a$ oluline iseärasus. Lihtsat valemit pole, arendada funktsioon Laurent'i ritta punkti $a$ ümbruses või kasutada residiide teooria põhiteoreemi järeldust.

Resiidide kasutamine integraalide arvutamisel

Resiidide teooria põhiteoreemi otsene rakendamine.
Olgu funktsioon $f$ regulaarne komplekstasandil, välja arvatud lõplik arv isoleeritud iseäraseid punkte. Olgu $\Gamma$ kinnine tükiti sile kõver, mille sees asuvad iseärased punktid $a_1,...,a_n$ ning väljaspool iseärased punktid $b_1,...,b_m$ (ükski iseärane punkt ei aru kõveral $\Gamma$). Siis \[ \int_{\Gamma} f(z) \text{d}z = 2 \pi i \sum_{k=1}^{n} \text{res } [f(z);a_k] = -2 \pi i \Big( \sum_{k=1}^{m} \text{res } [f(z); b_k] + \text{res }[f(z); \infty] \Big). \] Integraalid üle reaaltelje.
Olgu $F$ integreeruv üle reaaltelje. Olgu $F$ regulaarne ülemisel pooltasandil, välja arvatud lõplik arv iseäraseid punkte $a_1,...,a_n$ ning pidev kuni reaalteljeni. Olgu $\Gamma_R$ ringjoone $|z| = R$ ülemisel pooltasandil asuv osa. Siis \[ \int_{-\infty}^{\infty} F(x) \, \text{d}x = 2 \pi i \sum_{k=1}^{n} \text{res }[F(z);a_k] - \lim_{R \rightarrow \infty} \int_{\Gamma_r} F(z) \, \text{d}z. \]

Logaritmiline resiid. Argumendi printsiip

Funktsiooni $f$ logaritmiliseks resiidiks nimetatakse tema logaritmilise tuletise $\frac{f'}{f}$ resiidi. Funktsiooni $\frac{f'}{f}$ iseärased punktid on funktsiooni $f$ iseärased punktid ja funktsiooni $f$ nullkohad. Kui funktsioonil $f$ on $m$-järku nullkoht/poolus punktis $a$, siis $\text{res }[\frac{f'(z)}{f(z)}; a] = \pm m$.

Funktsiooni nullkohtade ja pooluste arv.
Olgu funktsioon $f$ regulaarne tõkestatud piirkonnas $D$, välja arvatud lõplik arv pooluseid, ning pidev kuni tükiti sileda rajandi $\Gamma$. Eeldame, et funktsioonil $f$ pole nullkohti rajajoonel $\Gamma$. Siis \[ \frac{1}{2 \pi i} \int_{\Gamma} \frac{f'(z)}{f(z)} \text{d}z = N-P, \] kus $N$ on funktsiooni $f$ nullkohtade arv ja $P$ on pooluste arv piirkonnas $D$, loetud koos kordustega.

Argumendi printsiipi kasutatakse Rouche teoreem teoreemi tõestamisel. Olgu funktsioonid $f$ ja $g$ regulaarsed tõkestatud piirkonnas $D$ ning pidevad kuni tükiti sileda rajani $\Gamma$, kusjuures iga $z \in \Gamma$ korral kehtib võrratus $|g(z)| \lt |f(z)|$. Siis on funktsioonidel $f$ ja $f+g$ ühepalju nullkohti piirkonnas $D$, loetus koos kordsustega.

Rouche teoreemi abil tõestatakse Algebra põhiteoreem. Igal $n$-astme polünoomil on komplekstasandil $n$ nullkohta, loetud koos kordsustega.