Geomeetria

Eukleidiline ruum

Eukleidilise geomeetria aluseks on Antiikkreeka matemaatika Eukleidese loodud raamat "Elemendid". Eukleidiline ehk traditsiooniline geomeetria on oma olemuselt sünteetiline ning ei vaja oma mõistete ja objektide määratlemisel koordinaatide süsteemi. Kaasaegne matemaatika võimaldab traditsioonilise geomeetria aksiomaatikat ning vastavat eukleidilist ruumi käsitleda ristkoordinaatsüsteemi poolt indutseeritud vektorruumi abil.

Kolmemõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks nimetatakse punktide hulka koos sellel hulgal toimiva ja temaga isomorfse eukleidilise vektorruumiga $\mathbb{R}^3 := \{ (x,y,z) \; | \; x,y,z \in \mathbb{R} \}$, mille iga kahe elemendi $\mathbf{x} = (x_1,x_2,x_3)$ ja $\mathbf{y} = (y_1,y_2,y_3)$ korral on defineeritud nende summa $ \mathbf{x} + \mathbf{y} := (x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)$ ja skalaariga $\lambda \in \mathbb{R}$ korrutamine $\lambda \mathbf{x} = (\lambda x_1, \lambda x_2, \lambda x_3)$ nii, et iga $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} \in \mathbb{R}^3$ ja $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$ korral kehtivad seosed

ning mille iga kahe elemendi $\mathbf{x} = (x_1,x_2,x_3)$ ja $\mathbf{y} = (y_1,y_2,y_3)$ korral on defineeritud nende skalaarkorrutis $\vec{x} \cdot \vec{y} = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3$.

Kõik kolmemõõtmelised eukleidilised vektorruumid on omavahel isomorfsed ning vastava isomorfismi defineerimine on samaväärne alguspunkti ning selle alguspunktile rakendatud ortonotrmeeritud baasi defineerimisega. Ruumi $\mathbb{R}^3$ toimet eukleidilisel ruumil saab käsitleda kui eukleidilise ruumi punktide nihkeid ja pöördeid ümber mingi punkti. Selle tulemusel saab eukleidiline ruum afiinse ruumi struktuuri.

Vektorite skalaarkorrutamine võimaldab eukleidilise ruumi jaoks sisse tuua mõisted nagu punktide $\mathbf{x}$ ja $\mathbf{y}$ vaheline kaugus, mis on defineeritud võrdusega $||\mathbf{x} - \mathbf{y}|| := \sqrt{(\mathbf{x} - \mathbf{y}) \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{y})} = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + (x_3 - y_3)^2}$ ning vektorite $\mathbf{x}$ ja $\mathbf{y}$ vaheline nurk, mis on samuti defineeritud nende vektorite skalaarkorrutise abil: $\cos \angle(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \frac{\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}}{|| \mathbf{x} || || \mathbf{y} ||}$.

Vektori $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^3$ norm $||\mathbf{x}|| := \sqrt{\mathbf{x} \cdot \mathbf{x}}$ indutseerib eukleidilisel ruumil meetrika kaugusega $d(\mathbf{x},\mathbf{y}) = ||\mathbf{x} - \mathbf{y} ||$. Meetrilises ruumis kehtivad aksioomid $d(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = 0 \Leftrightarrow \mathbf{x} = \mathbf{y}$, $d(\mathbf{x},\mathbf{y}) = d(\mathbf{y},\mathbf{x})$ ning $d(\mathbf{x},\mathbf{y}) \leq d(\mathbf{x},\mathbf{z}) + d(\mathbf{z},\mathbf{y})$. Sellest järelduvalt ka $d(\mathbf{x},\mathbf{y}) \ge 0$.

Sirged ja tasandid

Sirget tasandil või ruumis saab anda kahe punkti või punkti ja sellele punktile rakendatud sihivektori abil.
Fikseerime punkti $O \in E$, mida nimetame pooluseks. Punkti $X \in E$ kohavektoriks pooluse $O$ suhtes nimetatakse vektori $\vec{OX}$.
Punkti $A \in E$ ja talle rakendatud sihivektori $\vec{s}$ abil on võimalik anda sirgele $s$ kuuluvad punktid vektorvõrrandina punktide kohavektorite kaudu: \[ s : \vec{x} = \vec{a} + t \vec{s}, \; t \in \mathbb{R} \] Kui $\vec{x} = (x_1,x_2,x_3), \; \; \vec{a} = (a_1,a_2,a_3)$ ja $\vec{s} = (s_1,s_2,s_3)$, saame sirge $s$ parameetrilised võrrandid koordinaatides: $x_i = a_i + ts_i, \; \; (i = 1,2,3), \; \; t \in \mathbb{R}$.
Eelnevatest võrranditest parameetrit $t$ avaldades saame sirge $s$ kanoonilised võrrandid \[ s : \frac{x_1 - a_1}{s_1} = \frac{x_2 - a_2}{s_2} = \frac{x_3 - a_3}{s_3}\] Sirge võrrandid läbi kahe punkti $M_1(x_1,y_1,z_1)$ ja $M_2(x_2,y_2,z_2)$ saab, kui kanoonilises võrrandis valida sihivektoriks $(s_1,s_2,s_3)$ punkte $M_1$ ja $M_2$ ühendava sirgega kollineaarse vektori $\vec{s} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$.

Sirgete $s_1$ ja $s_2$ vaheliseks nurgaks nimetatakse nende sirgete sihivektorite $\vec{s}_1$ ja $\vec{s}_2$ vahelist nurka.

Tasand antakse ruumis ühe punkti $A \in E_3$ ning kahe lineaarselt sõltumatu vektori $\vec{u}, \vec{v} \in \vec{E}_3$ abil, mille korral vektorsüsteemi $\{ \vec{u}, \vec{v} \}$ nimetatakse selle tasandi rihiks. Pooluse $O \in E_3$ suhtes saab esitada tasandit $\pi$ parameetrilise vektorvõrrandina kohavektorite abil:
$\pi : \vec{x} = \vec{a} + t_1 \vec{u} + t_2 \vec{v}, \; \; (t_1,t_2 \in \mathbb{R})$, kus $A$ on punkt tasandil ja $\vec{x} = \vec{OA} + \vec{OX}$.

Kui $t_1, t_2 \in \mathbb{R}$, $\vec{x} = (x_1,x_2,x_3)$, $\vec{a} = (a_1,a_2,a_3)$, $\vec{u} = (u_1,u_2,u_3)$ ja $\vec{v} = (v_1,v_2,v_3)$, siis tasandi $\pi$ parameetrilised võrrandid koordinaatides on $x_i = a_i + t_1 u_i + t_2 x_i. \; \; (i = 1,2,3)$.

Elimineerides tasandi parameetrilistest võrranditest koordinaatkujul parameetrid $t_1$ ja $t_2$, saame tasandi üldvõrrandi \[ \pi : A_1 x_1 + A_2 x_2 + A_3 x_3 + A_4 = 0,\] kus \[ A_1 = \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}, \; \; A_2 = - \begin{vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{vmatrix}, \; \; A_3 = \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} \; \; \text{ ja } \; \; A_4 = \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \end{vmatrix}\] ning kordajad $A_1, A_2, A_3$ ei ole korraga nullid.

Vektorit $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ nimetatakse tasandi normaalvektoriks. Normaalvektor on risti tasandiga.

Tasandit saab määrata ühe punkti $M_0(x_0,y_0,z_0)$ ja tasandiga ristuva normaalvektori $\vec{n} = (A,B,C)$ abil, mille puhul on tasandi võrrandiks $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$, millest saab tuletada tasapinna üldvõrrandi $Ax + By + Cz + D = 0$, kus $D = -Ax_0 - By_0 - Cz_0$ ja tasapinna normaalvektor on $\vec{n} = (A,B,C)$.

Tasandite $\pi_1$ ja $\pi_2$ vaheliseks nurgaks nimetatakse nende tasandite normaalvektorite $\vec{n}_1$ ja $\vec{n}_2$ vahelist nurka.

Geomeetrilised põhikonstruktsioonid

Eukleidilise ruumi mistahes kahe punkti $X = (x_1,y_1,z_1)$ ja $Y = (x_2,y_2,z_2)$ korral defineeritakse neid ühendav sirglõik kui punktide hulk \[ L = \{ \mathbf{u} + t \mathbf{v} \; | \; t \in [0,1] \}. \] Sirglõigu pikkuseks nimetataks tema otspunktide vahelist kaugust. Kui $t \in (- \infty, 0]$ või $t \in [0, \infty)$, siis hulka $L$ nimetatakse kiireks ning kui $t \in \mathbb{R}$, siis hulka $L$ nimetatakse sirgeks.

Nurgaks nimetatakse kujundit, mille moodustavad kaks ühise alguspunktida kiirt. Vastavaid kiiri nimetatakse selle nurga haaradeks. Nurka mõõdetakse kraadides või radiaanides. Üks kraad moodustab $\frac{1}{360}$ täispöördest ning üks radiaan on nurk, mis toetub raadiuse pikkusele kaarele. Sõltuvalt nurga suurusest nimetatakse nurka kas teravnurgaks, täisnurgaks, nürinurgaks, sirgnurgaks või ülinürinurgaks.

Murdjoone moodustavad omavahel sirglõikude abil ühendatud punktid.
Kinniste murdjoonte abil konstrueeritakse hulknurgad. Hulknurki liigitatakse külgede (tippude või nurkade) arvu järgi kolmnurkades, nelinurkades, viisnurkadeks, ... üldiselt $n$-nurkadeks.

Kõverjooned ja kõverpinnad

Kujutust $\alpha : I \rightarrow E^2$, kus $\alpha(t) = (x(t), y(t)), \; t \in I$, nimetatakse tasandiliseks parametriseeritud kõveraks, kui funktsioonid $x(t)$ ja $y(t)$ on lõpmata diferentseeruvad funktsiooni.

Võrrandit $\alpha(t) = (x(t), y(t))$ saab vaadelda kui vektorfunktsiooni $\vec{\alpha} : I \rightarrow \mathbb{E}^2$ võrdusega $\vec{a}(t) = (x(t), y(t))$, mis võimaldab kõverate uurimiseks rakendada vektorarvutuse meetodeid.

Vektorfunktsiooni tuletis defineeritakse valemiga $\vec{\alpha}'(t) = (x'(t), y'(t))$.

Olgu $\alpha : I \rightarrow E^2$ parametriseeritud kõver, kus $\alpha(t) = (x(t), y(t))$. Parameetriseeritud kõvera kiirusvektoriks või puutujavektoriks kõvera punktis $p = \alpha(t_0), t_0 \in I$ nimetatakse seotud vektorit $\vec{\alpha}'(t_0) = (p; \frac{dx}{dt}|_p, \frac{dy}{dt}|_p) = (p; x'(t_0), y'(t_0))$.

Kasutades vektorfunktsiooni $\vec{\alpha}'(t_0) = (\alpha(t_0); \vec{\alpha}'(t_0))$, kus $\vec{\alpha}'(t_0) = (x'(t_0), y'(t_0))$ on vektorfunktsiooni tuletis punktis $t_0 \in I$.

Parametriseeritud kõvera $\alpha : I \rightarrow E^2, \alpha(t) = (x(t), y(t))$ kiirendusvektoriks parametriseeritud kõvera punktis $t_0 \in I$ nimetatakse vektorit $\vec{\alpha}''(t_0) = (\alpha(t_0); x''(t_0), y''(t_0))$.

Teist järku jooned ja pinnad

Teist järku joone üldvõrrand on kahe muutuja teise astme võrrand kujul \[ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, \] kus $A,B,C,D,E,F$ on reaalarvud ning vähemalt üks arvudest $A,B$ või $C$ on nullist erinev.

Ellips on tasandiline kujund, mille punktide kauguste summa kahest fikseeritud punktist on jääv, s.t kui fikseerida kaks punkti $A$ ja $B$, siis ellips koosneb kõikidest punktides $X$, mille korral $AX + BX = C$, kus $C$ on konstant. Punkte $A$ ja $B$ nimetatakse selle ellipsi fookusteks. Ellipsi algebraline võrrand on $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2 = 1}$, kus $a$ on selle ellipsi pikkus ja $b$ on laius.

Parabool on test järku joon, mille iga punkti kaugus ühest kindlast sirgest (juhtjoonest) võrdub selle punkti kaugusega ühest kindlast punktist (fookusest). Parabooli algebraline võrrand on $x^2 = 4ay$.

Hüperbool on teist järku joon, mille iga punkti kauguste vahe etteantud punktidest $F_1$ ja $F_2$ on konstantne. Hüpoerbooli algebraline võrrand on $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2 = 1}$.



Ekstsentrilisus on teist järku joone omadus, mis kirjeldab selle joone kõrvalekallet ringijoonest. Ringjoone ekstsentrilisus on 0, parabooli ekstsentrilisus on $\sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$, parabooli ekstsentrilisus on 1 ning hüperbooli ekstsentrilisus on $\sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$.

Geomeetriliselt on kõik teist järku joones koonuselõiked, s.t nad on koonuse ja seda koonust erinevate nurkade all lõikava tasandi lõikejooned.

Ellipsi, parabooli ja hüperbooli üldistused kolmemõõtmelises ruumis on ellipsoid, paraboloid ja hüperboloid, mis on teist järku pinnad.

Eukleidilise ruumi topoloogia

Olgu $X$ meettriline ruum ning olgu $a \in X$ ja $r > 0$. Siis lahtiseks keraks nimetatakse hulka $B(a,r) := \{ x \in X : \rho(x,a) < r \}$, kinniseks keraks hulka $\bar{B}(a,r) := \{ x \in X : \rho(x,a) \leq r \}$ ning sfääriks hulka $S(a,r) := \{ x \in X : \rho(x,a) = r \}$, kus punkti $a \in X$ nimetatakse nende kerade/sfääri keskpunktis ning arvu $r > 0$ nimetatakse raadiuseks. Olgu $(X,d)$ meetriline ruum. Kinniseks keraks(keskpunktiga $x \in X$ ja raadiusega $r > 0$) nimetatakse hulka $\overline{B}(x,r) = \{ y \in X : d(x,y) \leq r \}$. Kinnine kera on kinnine hulk.

Meetrilise ruumi $X$ punkti $x \in X$ ümbruseks nimetatakse mistahes hulka $D$, mille korral leidub kera keskpunktiga $x$, mis sisaldub selles hulgas $D$. Olgu $A \subset X$. Punkti $a \in A$ nimetatakse hulga $A$ sisepunktiks, kui leidub kera keskpunktiga $a$, mis sisaldub hulgas $A$, s.t $\exists \varepsilon > 0 : B(a,\varepsilon) \subset A$. Hulga $A \subset X$ kõigi sisepunktide hulka $A^{\circ}$ nimetatakse $A$ sisemuseks. Olgu $A \subset X$. Punkti $a \in X$ nimetatakse hulga $A$ rajapunktiks, kui punkti $a$ iga ümbrus sisaldab nii hulga $A$ kui ka hulga $X \setminus A$ elemente, s.t $a$ on $A$ rajapunkt $\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 B(a,\varepsilon) \cap A \neq \emptyset$ ja $B(a,\varepsilon) \cap (X \setminus A) \neq \emptyset$. Kõigi rajapunktide hulka $\partial A$ nimetatakse $A$ rajaks. Hulka $\bar{A} := A \cup \partial A$ nimetatakse sulundiks.

Olgu $(X, \Vert \cdot \Vert)$ normeeritud ruum ja olgu $A \subset X$. Siis hulk $A$ on tõkestatud parajasti siis, kui leidub arv $M \ge 0$ nii, et $\Vert x \Vert \leq M$ iga $x \in A$ korral. Öeldakse, et meetrilise ruumi $X$ alamhulk $A \subset X$ on tõkestatud, kui ta sisaldub mingis keras. Meetrilise ruumi $X$ alamhulka $A \subset X$ nimetatakse kinniseks, kui ta sisaldab kõik oma rajapunktid. Meetrilise ruumi $X$ alamhulka $A \subset X$ nimetatakse lahtiseks, kui tema igal punktil leidub ümbrus, mis sisaldub hulgas $A$, s.t kui tema iga punkt on sisepunkt.

Iga lahtine kera on lahtine hulk ning kõik kinnised kerad ja sfäärid on kinnised hulgad. Hulga $A$ sisemus $A^{\circ}$ on lahtine hulk ning sulund $\bar{A}$ in kinnine hulk.

Meetrilise ruumi $X$ alamhulka $K \subset X$ nimetatakse kompaktseks, kui ta on kinnine ning iga tema elementidest koosnev jada sisaldab koonduva osajada (ei pea koondume $K$ elemendiks). Meetrilist ruumi $X$ ennast nimetatakse kompaktseks, kui ta on iseenda kompaktne alamhulk. Ruumi $\mathbb{R}^n$ alamhulk $E \subset \mathbb{R}^n$ on kompaktne parajasti siis, kui ta on kinnine ja tõkestatud.

Meetrilise ruumi $X$ alamhulk $K$ on kompaktne parajasti siis, kui hulga $K$ elementide mistahes jadal leidub osajada, mis koondub hulga $K$ elemendiks.
Jada $(x_n)$ meetrilises ruumis $X$ nimetatakse Cauchy jadaks, kui $\rho(x_n,x_m) \rightarrow 0$, kui $n,m \rightarrow \infty$, s.t \[ \forall \varepsilon > 0 \; \exists N \in \Bbb{N} : n,m \ge N \Rightarrow \rho(x_n,x_m) < \varepsilon \] Iga koonduv jada on Cauchy jada, kuid mitte vastupidi, s.t leidub Cauchy jadasid, mis ei koondu. Lisaks on iga Cauchy jada on tõkestatud ning kui Cauchy jadal on koonduv osajada, siis see jada koondub samaks piirväärtuseks, mis tema osajada.

Meetrilist ruumi $X$ nimetatakse täielikuks, kui iga Cauchy jada temas koondub.

Öeldakse, et topoloogiline ruum $(X,\tau)$ on sidus, kui hulka $X$ ei saa esitada kahe ühisosata mittetühja lahtise alamhulga ühendina. Öeldakse, et topoloogilise ruumi $(X,\tau)$ alamhulk $E \subset X$ on sidus, kui alamruum $(E,\tau|_E)$ on sidus. Topoloogiline ruum on sidus parajasti siis, kui hulka $X$ ei saa esitada kahe ühisosata mittetühja kinnise alamhulga ühendina. Olgu $(X,\tau)$ topoloogiline ruum. Liin ehk tee topoloogilises ruumis $(X,\tau)$ on mistahes pidev kujutus $f: [0,1] \rightarrow X$. Punkti $f(0)$ nimetatakse sel juhul liini $f$ lähtepunktiks ja punkti $f(1)$ nimetatakse lõpp-punktiks. Sel juhul öeldakse ka, et liin $f$ ühendab punktid $f(0)$ ja $f(1)$. Öeldakse, et topoloogiline ruum $(X,\tau)$ on liinsidus, kui hulga $X$ mistahes kahe punkti korral leidub selline liin, mis need kaks punkti ühendab.

Olgu $(X,\tau_X)$ ja $(Y,\tau_Y)$ topoloogilised ruumid ning $f:X \rightarrow Y$.
Öeldakse, et kujutus $f$ on pidev, kui $f^{-1}(V) \in \tau_X$ mistahes $V \in \tau_Y$.
Olgu $x \in X$. Öeldakse, et kujutus $f$ on pidev punktis $x$, kui punkti $f(x)$ iga $\tau_Y$-ümbruse $V$ korral leidub punkti $x$ selline $\tau_X$-ümbrus $U$, et $f(U) \subset V$.

Olgu $(X,\tau_X)$ ja $(Y,\tau_Y)$ topoloogilised ruumid ning $f : X \rightarrow Y$. Öeldakse, et $f$ on homöomorfism, kui $f$ on bijektiivne ning $f$ ja ka $f^{-1}$ on pidevad. Öeldakse, et topoloogilised ruumid $(X,\tau_X)$ ja $(Y,\tau_Y)$ on homöomorfsed, kui nende ruumide vahel leidub homöomorfism. Sel juhul kirjutame $(X,\tau_X) \cong (Y,\tau_Y)$ või $X \cong Y$.

Meetriliste ruumide vahelisi kujutusi $f : X \longrightarrow Y$ nimetatakse operaatoriteks ja kujutusi $g : X \longrightarrow \Bbb{K}$ nimetatakse funktsionaalideks.

Öeldakse, et operaator $f : X \longrightarrow Y$ on pidev punktis $a \in X$, kui \[ \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 : \rho(x,a) < \delta \Rightarrow \rho(f(x),f(a)) < \varepsilon \]
Operaatorit $f:X \longrightarrow Y$ nimetatakse pidevaks, kui ta on pidev igas punktis $x \in X$.

Olgu $(X,\rho_{X})$ ja $(Y,\rho_{Y})$ meetrilised ruumid. Bijektsiooni $f: X \longrightarrow Y$ nimetatakse isomeetriaks, kui iga $x,u \in X$ korral \[ \rho_{Y}(f(x),f(u)) = \rho_{X}(x,u) \] Siis öeldakse, et meetrilised ruumid $X$ ja $Y$ on isomeetrilised.

Eukleidilise ruumi isomeetriateks on tema alamhulkade nihked, pöörded ja peegeldused.