Funktsionaalanalüüs

Meetriliseks ruumiks nimetatakse hulka $X$, millel on defineeritud kujutus $\rho : X \times X \longrightarrow \Bbb{R}$, mis täidab tingimusi

1. $\rho(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y$
2. $\rho(x,y) = \rho(y,x)$
3. $\rho(x,z) \leq \rho(x,y) + \rho(y,z)$

iga $x,y,z \in X$ korral. Kujutust $\rho$ nimetatakse kauguseks ehk meetrikaks ning vastavat meetrilist ruumi tähistatakse $(X,\rho)$. Kolmnurga võrratusest tuleneb vahetult $\rho(x,z) \ge 0$.

Üks lihtsaimaid näited meetrilistest ruumidest on reaalarvude hulk $\Bbb{R}$, mis on meetriline ruum loomuliku kauguse $d(x,y) = |x-y|$ suhtes.
Teiseks lihtsaks näiteks on Eukleidiline ruum $\mathbb{R}^3$ koos eukleidilise kaugusega $d(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \sqrt{(y_1-x_1)^2 + (y_2-x_2)^2 + (y_3-x_3)^2}$.

Normeeritud ruumid

Olgu $X$ vektorruum üle korpuse $\Bbb{K}$. Seda vektorruumi nimetatakse normeeritud ruumiks, kui temas on defineeritud kujutus $\Vert \cdot \Vert : X \longrightarrow \Bbb{R}$, mida nimetatakse normiks, kus iga $x,y \in X$ ja $k \in \Bbb{K}$ korral kehtivad normi aksioomid
1. $\Vert x \Vert = 0 \Leftrightarrow x = 0$
2. $\Vert kx \Vert = |k| \Vert x \Vert$
3. $\Vert x+y \Vert \leq \Vert x \Vert + \Vert y \Vert $

Meetriline ruum $X$ indutseerib normi $\rho(x,y) = \Vert x-y \Vert$ ning $\rho(x,0) = \Vert x \Vert $. Olgu $(X, \Vert \cdot \Vert)$ normeeritud ruum. Siis $X$ on meetriline ruum kauguse $\rho(x,y) = \Vert x-y \Vert$ $x,y \in X$ suhtes.

Jadad meetrilistes ja normeeritud ruumides

Olgu $(X,\rho)$ meetriline ruum ja olgu $x_n,x \in X$ iga $n \in \Bbb{N}$ korral.
Öeldakse, et jada $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ koondub elemendiks $x \in X$, kui $\rho(x_n,x) \longrightarrow 0$, tähistatakse $x_n \rightarrow x$ või $\lim_{n \rightarrow \infty}x_n = x$. Täpsemalt
\[x_n \rightarrow x \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \exists N \in \Bbb{N} : n \ge N \Rightarrow \rho(x_n,x) < \varepsilon.\] Olgu $X$ nomeeritud ruum ning olgu $x_n,x \in X$ iga $n \in \Bbb{N}$ korral. Normeeritud ruumis $X$ \[x_n \longrightarrow x \Leftrightarrow \Vert x_n - x \Vert \longrightarrow 0, \text{ kui } n \rightarrow \infty \] Koonduvate jadade omadused:
1. Meetrilises või normeeritud ruumis on igal koonduval jadal maksimaalselt üks piirväärtus
2. Meetrilises või normeeritud ruumis on iga koonduv jada tõkestatud
3. Meetrilises või normeeritud ruumis koonduva jada iga osajada koondub samaks piirväärtuseks

Kaugus $\rho$ meetrilises ruumis $X$ on pidev jägmises mõttes: kui $x_n,x,y_n,y \in X$ $\forall n \in \Bbb{n}$ ning $x_n \longrightarrow x$ ja $y_n \longrightarrow y$, siis $\rho(x_n,y_n) \longrightarrow \rho(x,y)$.

Algebralised tehted ja norm normeeritud ruumis on pidevad järgmises mõttes: iga $x_n,x,y_n,y \in X$ ja $k_n,k \in \Bbb{K}, \; n \in \Bbb{N}$ korral kui $x_n \longrightarrow x, \; \; y_n \longrightarrow$ ja $k_n \longrightarrow k$ siis $\Vert x_n \Vert \longrightarrow \Vert x \Vert , \; \; x_n + y_n \longrightarrow x+y$ ja $k_n x_n \longrightarrow kx$.

Klassikalised ruumid

Lõplikumõõtmelised ruumid

Ruumis $\mathbb{R}^n$ määratud üks olulisemaid norme on $p$-norm $\Vert x \Vert_p = (\sum_{k=1}^{n}|x_k|^p)^{\frac{1}{p}} = (|x_1|^p + |x_2|^p + ... + |x_n|^p)^{\frac{1}{p}}$, kus $(1\leq p < \infty)$.

$p$-normi kolmnurga võrratus tuleneb Minknowski võrratusest, mis omakorda tuleneb Rogers-Hölderi võrratusest, mis omakorda tuleneb Young'i võrratusest.

Juhul $p = 1$ saame summanormi $\Vert \mathbf{x} \Vert_1 = \sum_{k=1}^{n}|x_k| = |x_1| + |x_2| + ... + |x_n|$.
Juhul $p = 2$ saame eukleidilise normi $\Vert \mathbf{x} \Vert_2 = (\sum_{k=1}^{n}|x_k|^2)^{\frac{1}{2}} = (|x_1|^2 + |x_2|^2 + ... + |x_n|^2)^{\frac{1}{2}}$.
Juhul $p = \infty$ saame maksimumnormi $\Vert \mathbf{x} \Vert_\infty = \max_{1 \leq k \leq n}|x_k|$.

Iga $x = (\xi_j)_{j=1}^{k} \in \Bbb{K}^n$ korral $\Vert x \Vert_p \longrightarrow \Vert x \Vert_{\infty}, \text{ kui } p \rightarrow \infty$.
Iga $1 \leq p \leq q < \infty$ korral $\Vert x \Vert_{\infty} \leq \Vert x \Vert_q \leq \Vert x \Vert_p \leq \Vert x \Vert_1$ iga $x \in \Bbb{K}^n$ korral.

$0 < p < 1$ korral ei täida $\Vert \mathbf{x} \Vert_p$ kolmnurga võrratuse tingimust, mistõttu ei saa ruumi $\mathbb{R}^n$ vaadelda normeeritud ruumina sellise normi suhtes. Küll aga saab $0 < p < 1$ korral vaadelda ruumi $\mathbb{R}^n$ meetrilise ruumina kauguse $d_p (x,y) = \sum_{k=1}^n |x_i - y_i|^p$ suhtes.

Normiga $\Vert \mathbf{x} \Vert_p \; (1 \le p < \infty)$ määratud meetrilises ruumis $\mathbb{R}^n$ on koonduvus samaväärne koordinaatide kaupa koonduvusega, s.t \[ \mathbf{x}_k \rightarrow \mathbf{x} \; (k \rightarrow \infty) \text{ ruumis } l_{p}^{n} \Leftrightarrow x_j^k \rightarrow x_k \; (k \rightarrow \infty)\] iga $j \in \{ 1,...,n \}$ korral.

Jadaruumid

Loenduvates lõpmatumõõtmelistes ruumides ehk jadaruumides $l_p$ üldistub $p$-norm $p$-summeeruvate ($1 \le p \leq \infty$) jadade $l_p = \{ (x_k) : \sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^{p} < \infty \}$ normiks $\Vert \mathbf{x} \Vert_p = (\sum_{k=1}^{\infty}|x_k|^{p})^{\frac{1}{p}} = (|x_1|^p + |x_2|^p + ... + |x_n|^p + ...)^\frac{1}{p}$.

Tõkestatud, koonduvate ja hajuvate jadade vastavates ruumides $m = l_{\infty}$, $c$ ja $c_0$ on määratud norm $\Vert x \Vert = \sup_k |x_k|$.

$p = 0$ korral pole $\Vert \mathbf{x} \Vert_0$ homogeenne, mistõttu ei saa jadaruumi vaadelda normeeritud ruumina $\Vert \mathbf{x} \Vert_0$ suhtes. Küll aga saab jadaruumi $p=0$ korral vaadelda meetrilise ruumina kauguse $\rho(x,y) = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k}\frac{|\xi_k-\eta_k|}{1+|\xi_k-\eta_k|}, \; \; x = (\xi_k), \; y = (\eta_k)$ suhtes.

Koonduvus jadaruumis $s$ on samaväärdne koordinaaditi koonduvusega, s.t $x_k = (\xi_{j}^{k})_{j=1}^{\infty}$ ja $x = (\xi_j)_{j=1}^{\infty} \in s$ korral \[ x_n \rightarrow x (n \rightarrow \infty) \text{ ruumis } s \Leftrightarrow \xi_{j}^{k} \rightarrow \xi_j (k \rightarrow \infty)\text{ iga } j \in \Bbb{N} \text{ korral } \] Koonduvusest ruumis $l_p \; (1 \leq p < \infty)$ järeldub koordinaaditi koonduvus, kuid mitte vastupidi, s.t $x_k = (\xi_{j}^{k})_{j=1}^{\infty}$ ja $x = (\xi_j)_{j=1}^{\infty} \in l_p$ korral \[ x_k \rightarrow x (k \rightarrow \infty) \text{ ruumis } l_p \Rightarrow \xi_{j}^{k} \rightarrow \xi_k (k \rightarrow \infty) \text{ iga } j \in \{ 1,...,n \} \text{ korral } \]
Koonduvus ruumis $l_{\infty}$ on samaväärne koordinaatide ühtlase koonduvusega, s.t $x_k = (\xi_{j}^{k})_{j=1}^{\infty}$ ja $x = (\xi_j)_{j=1}^{\infty} \in l_{\infty}$ korral \[ x_k \rightarrow x (k \rightarrow \infty) \text{ ruumis } l_{\infty} \Leftrightarrow \xi_{j}^{k} \rightarrow \xi_j (k \rightarrow \infty) \text{ yhtlaset } \forall i \in \Bbb{N}, \text{ s.t } \sup_{j \in \Bbb{N}} |\xi_{j}^{k}-\xi_{j}| \rightarrow 0, \; (k \rightarrow \infty) \]

Funktsiooniruumid

Normeeritud ruumid on:
1. Lõigus $[a,b]$ tõkestatud funktsioonide ruum $M[a,b]$ normiga $\Vert x \Vert = \sup_{a \leq t \leq b} |x(t)|$.
2. Lõigus $[a,b]$ pidevate funktsioonide ruum $C[a,b]$ normiga $\Vert x \Vert = \max_{a \leq t \leq b}|x(t)|$.
3. Lõigus $[a,b]$ $n$ korda pidevalt diferentseeruvate funktsioonide ruum $C^n[a,b]$ normiga $\Vert x \Vert = \sum_{k=0}^{n} \max_{a \leq t \leq b}|x^{(k)}(t)|$, kus $x^{(0)}(t) = x(t)$.

4. Lõigus $[a,b]$ Lebesgue mõttes $p$-integreeruvate ($1 <= p < \infty$) funktsioonide ruum $L_p(a,b)$ normiga $\Vert x \Vert = (\int_{a}^{b}|x(t)|^p dt)^{\frac{1}{p}}$.
Ruumis $L_p(a,b)$ on võrdus $x = y$ defineeritud funktsioonide $x = x(t)$ ja $y = y(t)$ peaaegu kõikjal lõigus $[a,b]$. Ruumis $$Seega on ruumi $L_p(a,b)$ elementideks peaaegu kõikjal ühtivate funktsioonide klassid.

Hulgad meetrilistes ruumides

Olgu $(X, \Vert \cdot \Vert)$ normeeritud ruum ja olgu $A \subset X$. Siis hulk $A$ on tõkestatud parajasti siis, kui leidub arv $M \ge 0$ nii, et $\Vert x \Vert \leq M$ iga $x \in A$ korral.

Meetrilise ruumi $X$ iga alamhulk on meetriline ruum sama kauguse suhtes.

Olgu $X$ meettriline ruum ning olgu $a \in X$ ja $r > 0$. Siis lahtiseks keraks nimetatakse hulka $B(a,r) := \{ x \in X : \rho(x,a) < r \}$, kinniseks keraks hulka $\bar{B}(a,r) := \{ x \in X : \rho(x,a) \leq r \}$ ning sfääriks hulka $S(a,r) := \{ x \in X : \rho(x,a) = r \}$, kus punkti $a \in X$ nimetatakse nende kerade/sfääri keskpunktis ning arvu $r > 0$ nimetatakse raadiuseks.

Meetrilise ruumi $X$ punkti $x \in X$ ümbruseks nimetatakse mistahes hulka $D$, mille korral leidub kera keskpunktiga $x$, mis sisaldub selles hulgas $D$.
Öeldakse, et meetrilise ruumi $X$ alamhulk $A \subset X$ on tõkestatud, kui ta sisaldub mingis keras.

Olgu $A \subset X$. Punkti $a \in A$ nimetatakse hulga $A$ sisepunktiks, kui leidub kera keskpunktiga $a$, mis sisaldub hulgas $A$, s.t $\exists \varepsilon > 0 : B(a,\varepsilon) \subset A$
Meetrilise ruumi $X$ alamhulka $A \subset X$ nimetatakse lahtiseks, kui tema igal punktil leidub ümbrus, mis sisaldub hulgas $A$, s.t kui tema iga punkt on sisepunkt.

Olgu $A \subset X$. Punkti $a \in X$ nimetatakse hulga $A$ rajapunktiks, kui punkti $a$ iga ümbrus sisaldab nii hulga $A$ kui ka hulga $X \setminus A$ elemente, s.t $a$ on $A$ rajapunkt $\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 B(a,\varepsilon) \cap A \neq \emptyset$ ja $B(a,\varepsilon) \cap (X \setminus A) \neq \emptyset$.
Meetrilise ruumi $X$ alamhulka $A \subset X$ nimetatakse kinniseks, kui ta sisaldab kõik oma rajapunktid.

Hulga $A \subset X$ kõigi sisepunktide hulka $A^{\circ}$ nimetatakse $A$ sisemuseks, kõigi rajapunktide hulka $\partial A$ nimetatakse $A$ rajaks ning hulka $\bar{A} := A \cup \partial A$ nimetatakse sulundiks.

Iga lahtine kera on lahtine hulk ning kõik kinnised kerad ja sfäärid on kinnised hulgad. Hulga $A$ sisemus $A^{\circ}$ on lahtine hulk ning sulund $\bar{A}$ in kinnine hulk.

Hulk $A$ on lahtine parajasti siis, kui ta on võrdne oma sisemusega ning kinnine parajasti siis, kui ta on võrdne oma sulundiga.

Lahtiste hulkade $A_1,...,A_n \subset X$ ühend $\bigcup_{i = 1}^n A_i$ ja ühisosa $\bigcap_{i = 1}^n A_i$ on lahtised hulgad.
Analoogiliselt on kinniste hulkade $B_1,...,B_n \subset X$ ühend $\bigcup_{i = 1}^n B_i$ ja ühisosa $\bigcap_{i = 1}^n B_i$ on kinnised hulgad.

Lahtiste hulkade $A_1,...,A_n \subset X$ ühisosa sisemus on võrdne nende hulkade sisemuste ühisosaga, s.t $\Big( \bigcap_{i = 1}^n A_i \Big)^{\circ} = \bigcap_{i = 1}^n A_i^{\circ}$
Kinniste hulkade $B_1,...,B_n \subset X$ ühendi sulund on võrdne nende hulkade sulundite ühendiga, s.t $\overline{\bigcup_{i = 1}^n B_i} = \bigcup_{i = 1}^n \overline{B_i}$

Kui $A,B \subset X$ ja $A \subset B$, siis $A^{\circ} \subset B^{\circ}$ ning $\overline{A} \subset \overline{B}$.

Lahtised ja kinnised hulgad ei ole teineteist välistavad, s.t hulk võib korraga olla nii lahtine kui ka kinnine: näiteks tühihulk $\emptyset$ ja meetriline ruum $X$ ise on korraga nii lahtised kui ka kinnised hulgad. Samuti leidub hulkasid, mis ei ole lahtised ega ka kinnised, nt poollõigud $[a,b) \subset \mathbb{R}$.

Hulk $A \subset X$ on kinnine parajasti siis, kui iga tema elementides koosnev jada $(x_n)_{n=1}^{\infty}, \; \; x_n \in A$ koondub punktiks, mis kuulub samuti hulka $A$, s.t $x_n \longrightarrow x \in A$.

Lahtised ja kinnised hulgad on omavahel seotud järgnevalt:
1. Hulk $A \subset X$ on kinnine parajasti siis, kui tema täiend $X \setminus A$ on lahtine
2. Hulk $A \subset X$ on lahtine parajasti siis, kui tema täiend $X \setminus A$ on kinnine.

Hulgal $A \subset X$ ja tema täiendil $X \setminus A$ on samad rajapunktid, s.t $\partial A = \partial (X \setminus A)$

Olgu $A \subset X$. Siis hulga $A$ iga punkt on kas hulga $A$ sisepunkt või rajapunkt. Korraga mõlemat olla ei saa, s.t iga $x \in A$ korral kas $x \in A^{\circ}$ või $x \in \partial A$

Hulk $A$ on lahtine parajasti siis, kui ta ei sisalda ühtegi oma rajapunkti, kusjuures hulga sisemus ja raja on lõikumatud, s.t $A^{\circ} \cap \partial A = \emptyset $

Täielikud meetrilised ruumid

Jada $(x_n)$ meetrilises ruumis $X$ nimetatakse Cauchy jadaks, kui $\rho(x_n,x_m) \rightarrow 0$, kui $n,m \rightarrow \infty$, s.t \[ \forall \varepsilon > 0 \; \exists N \in \Bbb{N} : n,m \ge N \Rightarrow \rho(x_n,x_m) < \varepsilon \] Iga koonduv jada on Cauchy jada, kuid mitte vastupidi, s.t leidub Cauchy jadasid, mis ei koondu. Lisaks on iga Cauchy jada on tõkestatud ning kui Cauchy jadal on koonduv osajada, siis see jada koondub samaks piirväärtuseks, mis tema osajada.

Meetrilist ruumi $X$ nimetatakse täielikuks, kui iga Cauchy jada temas koondub.

Ruumid $\Bbb{R}, \Bbb{C}$ ja $c_0, l_{p}^{n},l_{\infty}$ on täielikud.

Meetrilise ruumi iga täielik alamruum on kinnine ning täieliku meetrilise ruumi alamruum on täielik parajasti siis, kui ta on kinnine.

Täielikku normeeritud ruumi nimetatakse Banachi ruumiks.

Meetrilise ruumi $X$ alamhulka $A \subset X$ nimetatakse tihedaks meetrilises ruumis $X$, kui tema sulund $\bar{A} = X$.

Baire'i teoreem.
1. Täieliku meetrilise ruumi loenduva arvu lahtiste tihedate hulkade ühisosa on tihe ruumis $X$.
2. Kui täielik mittetühi meetriline ruum on esitatud loenduva arvu kinniste hulkade ühendina, siis vähemalt üks nendest hulkadest sisaldab mingi kera.

Hulk $A \subset X$ on tihe parajasti siis, kui $X \setminus A$ ei sisalda ühtegi kera. Kahe lahtise tiheda hulga ühisosa on tihe.

Olgu $(X,\rho_{X})$ ja $(Y,\rho_{Y})$ meetrilised ruumid. Bijektsiooni $f: X \longrightarrow Y$ nimetatakse isomeetriaks, kui iga $x,u \in X$ korral \[ \rho_{Y}(f(x),f(u)) = \rho_{X}(x,u) \] Siis öeldakse, et meetrilised ruumid $X$ ja $Y$ on isomeetrilised.

Olgu $X$ meetriline ruum. Meetrilist ruumi $Z$ nimetatakse meetrilise ruumi $X$ täieldiks, kui leidub $Z$-i alamruum Y nii, et
$Y$ on tihe $Z$-is ning $Y$ ja $X$ on isomeetrilised.

Iga meetrilise ruumi $X$ jaoks leidub täield $Z$. Ruumi $X$ iga kaks täieldit on isomeetrilised.
Olgu $X$ täieliku meetrilise ruumi $Z$ alamruum. Siis sulund $\bar{X}$ on ruumi $X$ täield.

Teoreem sisestatud keradest.
Meetriline ruum $X$ on kinnine parajasti siis, kui üksteisesse sisestatud kinniste nulliks koonduvate raadiustega kerade jada korral on nende kerade ühisosa mittetühi, s.t kui $\bar{B}(x_1,r_1) \supset \bar{B}(x_2,r_2) \subset ... \supset \bar{B}(x_n,r_n) \supset \bar{B}(x_{n+1},r_{n+1}) \supset ...$ on kinnised kerad ruumis $X$, kus $r_n \rightarrow 0$, siis $\bigcap_{n=1}^{\infty} \bar{B}(x_n,r_n) = \emptyset.$

Olgu $X$ meetriline ruum ning olgu $X \supset D_1 \supset D_2 \supset ... $ sellised hulgad, mille korral $d_n := diam D_n \longrightarrow 0$ ja olgu $x \in \bigcap_{n=1}^{\infty}D_n$. Siis
1. $\bigcap_{n=1}^{\infty}D_n = \{ x \}$, s.t $x$ on hulga $\bigcap_{n=1}^{\infty}D_n$ ainus punkt
2. iga $x_n \in D_n$ korral $x_n \rightarrow x$.

Kompaktsed hulgad meetrilises ruumis

Meetrilise ruumi $X$ alamhulka $K \subset X$ nimetatakse kompaktseks, kui ta on kinnine ning iga tema elementidest koosnev jada sisaldab koonduva osajada (ei pea koondume $K$ elemendiks). Meetrilist ruumi $X$ ennast nimetatakse kompaktseks, kui ta on iseenda kompaktne alamhulk.

Meetrilise ruumi $X$ alamhulk $K$ on kompaktne parajasti siis, kui hulga $K$ elementide mistahes jadal leidub osajada, mis koondub hulga $K$ elemendiks.
Kompaktne meetriline ruum on täielik. Meetrilise ruumi iga lõplik hulk on kompaktne.
Ruumi $l_{p}^{n}$ alamhulk $A$ on kompaktne parajasti siis, kui $A$ on kinnine ja tõkestatud.

Olgu $A$ ja $B$ meetrilise ruumi $X$ alamhulgad ja olgu $\varepsilon > 0$.
Hulka $A$ nimetatakse hulga $B$ $\varepsilon$-võrguks, kui $A \subset \bigcup_{b \in B}B(b,\varepsilon)$, s.t iga $a \in A$ jaoks leidub $b \in B$ nii, et $\rho(b,a) < \varepsilon$.

Olgu $a,b \in \Bbb{R}$, $a < b$ ja olgu $C$ pidevate funktsioonide hulk $[a,b] \longrightarrow \Bbb{R}$.
Hulka $C$ nimetatakse ühtlaselt tõkestatuks, kui leidub arv $M \ge 0$ nii, et $|x(t)| \leq M$ iga $t \in [a,b]$ ja $x \in C$ korral.

Hulka $C$ nimetatakse ekvivalentselt pidevaks, kui iga $\varepsilon > 0$ jaoks leidub $\delta > 0$ nii, et iga $x \in C$ korral \[ t_1,t_2 \in [a,b], \; |t_1-t_2| < \delta \Rightarrow |x(t_1-x(t_2))| < \varepsilon \]
Hausdorffi teoreem.
Olgu $A$ meetrilise ruumi $X$ alamhulk. Hulga $A$ suhteliseks kompaktsuseks on tarvilik, ja kui hulk $X$ on täielik, siis ka piisav, kui iga $\varepsilon > 0$ korral hulk $A$ saab lõpliku $\varepsilon$-võrgu.

Aszela-Ascoli teoreem.
Pidevate funktsioonide ruumi $C[a,b]$ alamhulk $C$ on kompaktne parajasti siis, kui ta on kinnine, ühtlaselt tõkestatud ja ekvivalentselt pidev.

Pidevad operaatorid kujutavad suhteliselt kompaktsed hulgad suhteliselt kompaktseteks hulkadeks ja kompaktsed hulgad kompaktseteks hulkadeks.

Operaatorid meetrilistes ruumides

Meetriliste ruumide vahelisi kujutusi $f : X \longrightarrow Y$ nimetatakse operaatoriteks ja kujutusi $g : X \longrightarrow \Bbb{K}$ nimetatakse funktsionaalideks.

Öeldakse, et operaator $f : X \longrightarrow Y$ on pidev punktis $a \in X$, kui \[ \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 : \rho(x,a) < \delta \Rightarrow \rho(f(x),f(a)) < \varepsilon \]
Samaväärselt on $f$ pidev punktis $a \in X \Leftrightarrow f[B(a,\delta)] \subset B(f(a),\varepsilon)$, s.t operaator $f$ on pidev punktis $a \in X$, kui punkti $f(a)$ iga ümbruse $V$ korral leidub punkti $a$ ümbrus $U$ nii, et $f[U] \subset V$.

Pidevuse Heine kriteerium.
Olgu $X$ ja $Y$ meetrilised ruumid ning olgu $f : X \longrightarrow Y$ ja $a \in X$. Siis
$f$ on pidev punktis $a \Leftrightarrow [x_n \in X, \; x_n \rightarrow a \Rightarrow f(x_n) \rightarrow f(x)]$

Operaatorit $f:X \longrightarrow Y$ nimetatakse pidevaks, kui ta on pidev igas punktis $x \in X$.

Operaator $f : X \longrightarrow Y$ on pidev parajasti siis, kui hulga $Y$ iga lahtise või kinnise alamhulga $V$ korral tema originaal $f^{-1}[V] := \{ x \in X : f(x) \in V \}$ on vastavalt lahtine või kinnine hulk ruumis $X$. Samas ei pea pideva operaatori korral lahtise hulga kujutis olema lahtine ega kinnise hulga kujutis kinnine.

Öeldakse, et operaator $f : X \longrightarrow Y$ täidab Lipschitzi tingimust, kui leidub reaalarv $L \ge 0$ nii, et \[ \rho(f(x),f(z)) \leq L \rho(x,z) \] iga $x,z \in X$ korral. Siis $f$-i nimetatakse Lipschitzi funktsiooniks ja $L$-i Lipschizti konstandiks. Iga Lipschitzi operaator on pidev.

Operaatorit $f: X \longrightarrow Y$ nimetatakse kokkutõmbeks, kui leidub arv $0 \leq q < 1$ nii, et $\rho(f(x),f(z)) \leq q \rho(x,z)$ iga $x,z \in X$ korral.
Meetrilise ruumi $X$ punkti $x_0 \in X$ nimetatakse operaatori $f : X \longrightarrow Y$ püsipunktiks, kui $f(x_0) = x_0$.

Banachi püsipunkti printsiip.
Meetrilises ruumis oleval kokkutõmbel on täpselt üks püsipunkt.

Pidevad lineaarsed opeaatorid

Defineerime $n$-mõõtmelise ruumi $X$ jaoks maatriksoperaatori $A = (a_{ij})$ võrdusega \[ Ax = \begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1_n} \\ ... & ... & ... \\ a_{n1} & ... & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum_{j=1}^{n}a_{1j}x_j \\ ... \\ \sum_{j=1}^{n}a_{nj}x_j \end{pmatrix} \] Siis operaator $A: X \longrightarrow Y$ on lineaarne, s.t
1. $A$ on aditiivne, s.t $A(x,y) = Ax + Ay$ iga $x,y \in X$ korral
2. $A$ on homogeenne, s.t $A(kx) = kAx$ iga $x \in X$ ja $k \in \Bbb{K}$ korral.

Funktsionaalide ruumi $X^{\ast} := \mathcal{L}(X,\Bbb{K})$ nimetatakse ruumi $X$ kaasruumiks.

Öeldakse, et lineaarne operaator $A : X \longrightarrow Y$ on tõkestatud, kui leidub $M \ge 0$ nii, et $\Vert Ax \Vert \leq M \Vert x \Vert$ iga $x \in X$ korral.
Öeldakse, et lineaarne operaator $A : X \longrightarrow Y$ on pidev, kui iga $\varepsilon > 0$ korral leidub $\delta \ge 0$ nii, et kui $||x-y|| < \delta $, siis $||Ax - Ay|| < \varepsilon$.

Lineaarne operaator $A$ on pidev parajasti siis, kui ta on tõkestatud. Mistahes $n$-mõõtmelisel ruumil $X$ määratud lineaarne operaator $T : X \longrightarrow Y$ on pidev. Lineaarne operaator $A : X \longrightarrow Y$ on pidev parajasti siis, kui ta on pidev vähemalt ühes punktis $a \in X$ ning lineaarne operaator $A : X \longrightarrow Y$ on tõkestatud parajasti siis, kui $A$ kujutab tõkestatud hulgad tõkestatud hulkadeks.

Olgu $X$ ja $Y$ normeeritud ruumid. Anname pidevatele lineaarsetele operaatoritele $A : X \longrightarrow Y$ normeeritud ruumi struktuuri.
Olgu $A,B : X \longrightarrow Y$ pidevad lineaarsed operaatorid ja olgu $k \in \Bbb{K}$.
Defineerime summa $A+B : X \longrightarrow Y$ ja skalaarkordse $kA : X \longrightarrow Y$: \[ (A+B)(x) = Ax + Bx \text{ ja } (kA)(x) = k(Ax), \; \; x \in X\] Siis $A+B$ ja $kA$ on lineaarsed ning pidevad. Saadud pidevate lineaarsete operaatorite vektorruumi tähistatamse $\mathcal{L}(X,Y)$.
Pideva lineaarse operaatori $A$ norm $\Vert A \Vert := \sup_{x \in B_{X}} \Vert Ax \Vert = \Vert A \Vert = \min \{ M \ge 0 : \Vert Ax \Vert \leq M \Vert x \Vert \forall x \in X \}$.

Lineaarset operaatorit $A : X \rightarrow Y$ pöördoperaatoriks nimetatakse operaatorit $B : Y \rightarrow X$, mille korral $BA = I_{X}$ ja $AB = I_{Y}$. Sellisel juhul nimetatakse operaatorit $A$ pööratavaks ja tema pöördoperaatorit tähistatakse $B = A^{-1}$.

Operaatorit $T \in \mathcal{L}(X,Y)$ nimetatakse isomorfismiks, kui ta on bijektsioon ja tema pöördoperaator on pidev, s.t $T^{-1} \in \mathcal{L}(X,Y)$.
Öeldakse, et ruumid $X$ ja $Y$ on isomorfsed, kui leidub isomorfism $T \in \mathcal{L}(X,Y)$.

Olgu $X$ ja $Y$ normeeritu ruumid. Siis sürjektiivne lineaarne operaator $T : X \longrightarrow Y$ on isomorfism parajasti siis, kui leiduvad konstandid $\alpha, \beta > 0$ nii, et \[ \alpha \Vert x \Vert \leq \Vert Tx \Vert \leq \beta \Vert x \Vert \; \; \forall x \in A \] Olgu $n \in \mathbb{N}$ ja olgu $X$ $n$-mõõtmeline normeeritud ruum, mille baasiks on $\{ e_1,...,e_n \}$. Siis kujutus \[ T : (\xi_j)_{j=1}^{n} \in l_{\infty}^{n} \mapsto \sum_{j=1}^{n} \xi_j e_j \in X \] on isomorfism. Seega on iga $n$-mõõtmeline normeeritud ruum isomorfne ruumiga $l_{\infty}^{n}$ ($l_{\infty}^{n}$ -s $\Vert x \Vert = max \{ \xi_k \}$).

Iga kaks $n$-mõõtmelist normeeritud ruumi on isomorfsed.