Elektromagnetlained

Maxwelli võrrandid moodustavad klassikalise elektrodünaamika aluse ning nendel võrranditel põhinevad elektrimootorid, generaatorid, transformaatorid, raadio- ja radaritehnoloogia ning suurem osa kaasaegsest kommunikatsioonitehnoloogiast. Nendest võrranditest on võimalik tuletada elektromagnetlaine võrrandid, mille spektrisse kuuluvad raadiolained, infrapuna-, röntken-, ultraviolett- ja gammakiirgused ning nähtav valgus. Elektromagnetlaine võrranditest saab tuletada valguse kiiruse.

Maxwelli võrrandid integraalkujul: \[ \oiint_{\partial \Omega} \mathbf{E} \cdot \text{d} \mathbf{S} = \frac{1}{\varepsilon_0} \iiint_{\Omega} \rho \, \text{d} V \] \[ \oiint_{\partial \Omega} \mathbf{B} \cdot \text{d} \mathbf{S} = 0 \] \[ \oint_{\partial \Sigma} \mathbf{E} \cdot \text{d} \mathscr{l} = - \frac{\text{d}}{\text{d}t} \iint_{\Sigma} \mathbf{B} \cdot \text{d} \mathbf{S} \] \[ \oint_{\partial \Sigma} \mathbf{B} \cdot \text{d} \mathscr{l} = \mu_0 \Big( \iint_{\Sigma} \mathbf{J} \cdot \text{d} \mathbf{S} + \varepsilon_0 \frac{\text{d}}{\text{d}t} \iint_{\Sigma} \mathbf{E} \cdot \text{d} \mathbf{S} \Big) \]
$\varepsilon_0 \approx 8.854187817 \, . \, . \, . \, \times 10^{-12} F \cdot m^{-1}$ - elektriline konstant ehk vaakumi dielektriline läbituvus
$\mu_0 \approx 1.2566370614 \, . \, . \, . \, \times 10^{-6} N / A^2$ - magnetiline konstant ehk vaakumi magnetiline läbituvus

$\mathbf{E}$ - ajas muutuv eletriväli ehk vektorfunktsiooniga $\mathbf{E} : \, \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3$ \[ \mathbf{E}(\mathbf{x}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \sum_{k=1}^{N} \frac{q_k}{ \Vert \mathbf{x}_k - \mathbf{x} \Vert^2} \hat{\mathbf{r}}_k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \iiint_{V} \frac{\rho(\mathbf{x}^{'}) \text{d}V}{\Vert \text{x}^{'}-\mathbf{x} \Vert^2} \hat{r}^{'}\] määratud vektorväli, kus $\mathbf{x_k}(t) = f_k(t) \mathbf{i} = g_k(t) \mathbf{j} + h_k(t) \mathbf{k} \; (k = 1,2...N)$ on ajas liikuvate punktlaengute kohavektorid ning $\hat{\mathbf{r}}_k$ on vektori $\mathbf{x}_k - \mathbf{x}$ suunaline ühikvektor.





$\mathbf{B}$ - ajas muutuv magnetväli ehk vektorfunktsiooniga $\mathbf{E} : \, \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3$ määratud vektorväli, mille korral kehtib Lorentzi jõud $\mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})$ ning \[ \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_C \frac{\mathbf{I} \text{d} \mathbf{l} \times \mathbf{r}^{'}}{| \mathbf{r}^{'} | ^ 3} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \iiint_V \frac{\mathbf{J} \text{d} V \times \mathbf{r}^{'}}{| \mathbf{r}^{'} | ^ 3} \]

$\rho : \, \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}$ on laengu ruumitihedus. Eeldame, et laeng on ruumiosas jaotatud ühtlaselt, siis $\rho(\mathbf{x) = \lim_{A \rightarrow 0}\frac{Q(A)}{V}} = \frac{\text{d}Q}{\text{d}V}$

$\mathbf{J} : \, \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3$ on on voolutihedus antud punktis, kus $| \mathbf{J} | = \lim_{A \rightarrow 0}\frac{I(A)}{A} = \frac{\text{d}I}{\text{d}A}$ on voolutiheduse tugevus vooluga ristuvas pinnatükis $A$ ja $\mathbf{I} = \rho \mathbf{v} \text{d}t$ ning $\mathbf{J} = \rho \mathbf{v}$.

$\Omega$ - integreeritav ruumiosa ning $\partial \Omega$ on selle ruumiosa rajapind, mis üldiselt on antud parameetriliste võrranditega \[ x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v)\] $\Sigma$ - integreeritav pind ning $\partial \Sigma$ on selle pinna rajajoon, mis üldiselt on antud parameetriliste võrranditega $x = x(t), y = y(t)$.



Maxwelli võrrandite diferentsiaalkuju esitub divergentsiteoreemi ja Kelvin-Stokes teoreemi \[ \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) \text{d}V = \iint_S (\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}) \text{d}S \] \[ \iint_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot \text{d} \mathbf{S} = \oint_L \mathbf{F} \cdot \text{d} \mathbf{L} \]

abil võrranditena \[ \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \] \[\nabla \cdot \mathbf{B} = \mathbf{0} \] \[ \nabla \times \mathbf{E} = \frac{ \partial \mathbf{B}}{\partial t} \] \[\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \Big( \mathbf{J} + \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \Big) \]



kus $\nabla = \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial y} + \frac{\partial}{\partial z}$ on diferentsiaaloperaator ja $\nabla \cdot \mathbf{E}$ ja $\nabla \cdot \mathbf{B}$ on elektri- ja magnetvälja divergentsid \[ \text{div} \mathbf{F}(p) = \nabla \cdot \mathbf{F} = \lim_{V \rightarrow {p}} \iint_{\partial V} \frac{\mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat{n}}}{|V|} \text{d}V = \frac{\partial U}{\partial x} + \frac{\partial V}{\partial y} + \frac{\partial W}{\partial z} \; \; (\mathbf{F} = U \mathbf{i} + V \mathbf{j} + W \mathbf{k}) \] ning $\nabla \times \mathbf{E}$ ja $\nabla \times \mathbf{B}$ on elektri- ja magnetvälja rootor \[ (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{\hat{n}} = \lim_{A \rightarrow 0} \Big( \frac{1}{|A|} \oint_C \mathbf{F} \text{d} \mathbf{r} \Big) \] ning ristkoordinaatides \[ \text{rot} \mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix} = \Big( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \Big) \mathbf{i} + \Big( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \Big) \mathbf{j} + \Big( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \Big) \mathbf{k} \] Tuletame Maxwelli võrrandite diferentsiaalkujust elektromagnetlaine võrrandid, eeldades, et puuduvad allikad ja vool. Siis $\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$, $\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial t}$ ning \[ \nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \Rightarrow \nabla \times ( \nabla \times \mathbf{E} ) = - \frac{\partial}{\partial t} \nabla \times \mathbf{B} = - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} \] \[ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \Rightarrow \nabla \times ( \nabla \times \mathbf{B} ) = - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \nabla \times \mathbf{E} = - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} \] kus $\nabla \times ( \nabla \times \mathbf{V}) = \nabla ( \nabla \cdot \mathbf{V}) - \nabla^2 \mathbf{V}$ ning $\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$ ja $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ tõttu avalduvad elektromagnetlaine võrrandid \[ \nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} \] \[ \nabla^2 \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} \] mis on teist järku osatuletistega diferentsiaalvõrrandid.

Elektromagnetlaine tasandiliste komponentide üldlahendid on \[ \mathbf{E}(x,t) = E_0 \sin \Big(\frac{2\pi}{\lambda} (x-vt) \Big) \vec{j} \] \[ \mathbf{B}(x,t) = B_0 \sin \Big(\frac{2\pi}{\lambda} (x-vt) \Big) \vec{k} \]



Diferentseerime elektrivälja lahendit kaks korda mõlemate muutujate $x$ ja $t$ järgi: \[ \frac{\partial^2}{\partial x^2} \mathbf{E}(x,t) = - E_0 \Big( \frac{2\pi}{\lambda} \Big)^2 \sin \Big(\frac{2\pi}{\lambda} (x-vt) \Big) \] \[ \frac{\partial^2}{\partial t^2} \mathbf{E}(x,t) = - E_0 \Big( \frac{2\pi v}{\lambda} \Big)^2 \sin \Big(\frac{2\pi}{\lambda} (x-vt) \Big) \] Asendame saadud tulemused algsesse võrrandisse: \[ - E_0 \Big( \frac{2\pi}{\lambda} \Big)^2 \sin \Big(\frac{2\pi}{\lambda} (x-vt) \Big) = - \mu_0 \varepsilon_0 E_0 \Big( \frac{2\pi v}{\lambda} \Big)^2 \sin \Big(\frac{2\pi}{\lambda} (x-vt) \Big) \] Jagame võrrandi mõlemad pooled avaldisega $- E_0 \Big( \frac{2\pi}{\lambda} \Big)^2 \sin \Big(\frac{2\pi}{\lambda} (x-vt) \Big)$ läbi, saame tulemuseks \[ 1 = \mu_0 \varepsilon_0 v^2 \] Avaldame siit kiiruse $v$: \[ v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} = 299 \; 792 \; 458 \; \frac{m}{s} \]