Diferentsiaalvõrrandid

Diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis seob omavahel otsitavat ühe- või mitmemuutuja funktsiooni, selle funktsiooni tuletisi või osatuletisi ning sõltumatuid muutujaid. Ühemuutuja funktsiooni ja tema tuletisi siduvat võrrandit nimetatakse harilikuks diferentsiaalvõrrandiks ning mitmemuutuja funktsiooni ja tema osatuletisi siduvat võrrandit nimetatakse osatuletistega diferentsiaalvõrrandiks. Vastavalt diferentsiaalvõrrandis esinevate tuletiste suurimale järgule nimetatakse võrrandeid veel ka esimest järku, teist järku või üldiselt $n$-järku diferentsiaalvõrrandiks.

Esimest järku hariliku diferentsiaalvõrrandi üldkuju on \[ F(x,y,y') = 0, \] kus $x$ sõltumatu muutuja, $y = y(x)$ on otsitav funktsioon ning $y' = \frac{\text{d}y}{\text{d}x}$ on otsitava funktsiooni tuletis ning $F(x,y,y')$ esitab seose nende vahel.

Üldkujulisest diferentsiaalvõrrandist tuletise $y'$ ilmutamisel saame esimest järku hariliku diferentsiaalvõrrandi normaalkuju \[ y' = f(x,y). \] Esimest järku harilik diferentsiaalvõrrand võib esineda ka sümmeetrilisel kujul $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$, mille puhul võib otsitavaks funktsiooniks olla nii muutuja $x$ kui ka muutuja $y$ funktsioon.

Olgu funktsioon $F(x,y,z)$ määratus $xyz$-ruumi piirkonnas $G$.
Võrrandi $F(x,y,y') = 0$ lahendiks vahemikus $(a,b)$ nimetatakse funktsiooni $y = y(x)$, mis on pidevalt diferentseeruv vahemikus $(a,b)$ ning mille asetamisel võrrandisse $F(x,y,y') = 0$ otsitava $y$ kohale saame samasuse sõltumatu muutuja $x \in (a,b)$ suhtes: \[ (x,y(x),y'(x)) \in G \text{ ja } F(x,y(x),y'(x)) = 0 \text{ iga } x \in (a,b) \text{ korral.} \] Diferentsiaalvõrrandi lahend võib olla esitatud ilmutamata kujul $\Phi(x,y) = 0$ või parameetrilisel kujul $x = \varphi(p), \; y = \psi(p)$, kus $p$ on parameeter, mis muutub mingis vahemikus $(\alpha, \beta)$.

Harilike esimest järku diferentsiaalvõrrandi lahendeid nimetatakse ka vaadeldava võrrandi integraalkõverateks ehk integraaljoonteks.

Diferentsiaalvõrrandi $F(x,y,y') = 0$ üldlahendiks (piirkonnas $D$) nimetatakse ühest suvalisest konstandist $C$ sõltuvat võrrandi $F(x,y,y') = 0$ lahendit (lahendite peret) $y = y(x,C)$, kus $C$ on suvaline konstant. Üldlahendist konstandi $C$ väärtuse fikseerimisega saadavaid lahendeid nimetatakse erilahenditeks.

Diferentsiaalvõrrandi $y' = f(x,y)$ jõuame sageli seoseni $\Phi(x,y,C) = 0$, kus $\Phi$ on antud funktsioon kolmest muutujast $x,y$ ja $C$. Kui suuruse $y$ ilmutamisel saame siit võrrandi $y' = f(x,y)$ üldlahendi eespool toodud mõttes, siis öeldakse, et võrdus $\Phi(x,y,C) = 0$ määrab võrrandi $y' = f(x,y)$ üldlahendi ilmutamata kujul.

Ülesannet, kus on vaja leida diferentsiaalvõrrandi $y' = f(x,y)$ lahend $y = y(x)$, mis argumendi väärtusel $x = x_0$ omandab väärtuse $y = y_0$, s.t rahuldab tingimust $y(x_0) = y_0$, nimetatakse algtingimustega ehk Cauchy ülesandeks võrrandi $y' = f(x,y)$ jaoks. Lisatingimust $y(x_0) = y_0$ nimetatakse algtingimuseks ehk Cauchy tingimuseks.
Geomeetriliselt tähendab Cauchy ülesanne seda, et tuleb leida võrrandi lahend $y = y(x)$, mis läbib punkti $(x_0,y_0)$.

Järgnevad teoreemid annavad piisavad tingimused Cauchy ülesande lahendi olemasoluks ja ühesuseks.

Peano teoreem. Olgu funktsioon $f(x,y)$ pidev muutujate $x,y$ piirkonnas $D$. Siis läbi iga punkti $(x_0, y_0) \in D$ kulgeb vähemalt üks võrrandi $y' = f(x,y)$ integraalkõver ehk, öeldes teisiti, Cauchy ülesandel $y' = f(x,y), \; y(x_0) = y_0$ on vähemalt üks lahend.

Cauchy teoreem. Kui $f(x,y)$ ja selle osatuletis $y$ järgi $\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$ on määratud ja pidevad muutujate $x,y$ piirkonnas $D$, siis läbi iga punkti $(x_0,y_0) \in D$ kulgeb parajasti üks võrrandi $y' = f(x,y)$ integraalkõver ehk teiste sõnadega, Cauchy ülesandel $y' = f(x,y), \; y(x_0) = y_0$ on parajasti üks lahend.

Cauchy teoreemi eeldustel on võrrandi $y' = f(x,y)$ mis tahes lahend saadav üldlahendist konstanti $C$ fikseeritud väärtuse korral. Olukord on keerulisem Peano teoreemi eeldustel. Punkti $(x_0,y_0) \in D$ võib läbida mitu lahendit ja mitte kõiki neist ei pruugi õnnestuga lülitada lahendite üheparameetrilisse parve (üldlahendisse). Võrrandil võib esineda veel nn iseärane ehk singulaarne lahend, s.t lahend, mida ei ole võimalik saada üldlahendist konstandi $C$ fikseerimise teel.

Eraldatud muutujate võrrandid

Diferentsiaalvõrrandit kujul \[ M(x)dx + N(y)dy = 0 \] nimetatakse eraldatud muutujate võrrandiks, sest diferentsiaalide kordajad sõltuvad vaid vastavatest muutujatest. Selle võrrandi lahendid ilmutamata kujul saab võrrandi mõlemaid pooli integreerides: \[ \int M(x) dx + \int N(y) dy = C, \] kus $C$ on suvaline konstant.

Eralduvate muutujatega võrrandid

DIferentsiaalvõrrandit kujul \[ M_1(x)M_2(y)dx + N_1(x)N_2(y) dy = 0 \] nimetatakse eralduvate muutujatega võrrandiks. Jadages võrduse mõlemad pooled läbi teguriga $M_2(y)N_1(x)$, saame eelnevale võrrandile kuju \[ M_2(y) N_1(x) \Big[ \frac{M_1(x)}{N_1(x)} dx + \frac{N_2(y)}{N_1(y)} \Big] = 0, \] mis kehtib juhtudes $M_2(y) = 0$ või $N_1(x) = 0$ või $\frac{M_1(x)}{N_1(x)} dx + \frac{N_2(y)}{N_1(y)} = 0$. Piirkonnas, kus $M_2(y) \neq 0$ ja $N_1(x) \neq 0$ on selle võrrandi lahenditeks sarnaselt eralduvate muutujatega võrrandile \[ \int \frac{M_1(x)}{N_1(x)} dx + \int \frac{N_2(y)}{M_2(y)} dy = C_1 \] ehk \[ \int_{x_0}^{x} \frac{M_1(x)}{N_1(x)} dx + \int_{y_0}^{y} \frac{N_2(y)}{M_2(y)} dy = C_2, \] kus $C_1$ ja $C_2$ on suvalised konstandid, kusjuures $x_0$ ja $y_0$ peavad olema sellised, et $M_2(y_0) \neq 0$ ja $N_1(x_0) \neq 0.$ Kui leiduvad $x_1$ ja $y_1$ nii, et $N_1(x_1) = 0$ või $M_2(y_1) = 0$, siis on esialgse võrrandi lahenditeks ka konstantsed funktsioonid $y = y_1$ ja $x = x_1$.

Üleminekut eralduvate muutujatega võrrandist eraldatud muutujate võrrandile nimetatakse muutujate eraldamiseks.

Eksaktsed ehk täisdiferentsiaaliga võrrandid

Diferentsiaalvõrrandit \[ M(x,y) dx + N(x,y)dy = 0 \] nimetatakse eksaktseks ehk täisdiferentsiaaliga võrrandiks, kui avaldis $M(x,y) dx + N(x,y)dy$ on mingi diferentseeruva funktsiooni $u = u(x,y)$ täisdiferentsiaaliks, s.t \[ du = M(x,y) dx + N(x,y)dy \] ehk kui leidub funktsioon $u = u(x,y)$ nii, et \[ \frac{\partial u(x,y)}{\partial x} = M(x,y) \text{ ja } \frac{\partial u(x,y)}{\partial y} = N(x,y). \] Teoreem. Olgu võrrandi $M(x,y) dx + N(x,y)dy = 0$ kordajad $M(x,y)$ ja $N(x,y)$ ning nende osatuletised $\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}$ ja $\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}$ määratud ja pidevad ristkülikus $R = \{ (x,y) \; | \; a < x < b, \; \alpha < y < \beta \}$. Siis võrrandi $M(x,y) dx + N(x,y)dy = 0$ eksaktsuseks piirkonnas $R$ on tarvilik ja piisav, et iga $(x,y) \in R$ korral kehtib võrdus \[ \frac{\partial M(x,y)}{\partial y} = \frac{\partial N(x,y)}{\partial x}.\] Eelnevad tingimused on täidetud funktsioonide \[ u(x,y) = \int_{x_0}^{x} M(s,y) \text{d}s + \int_{y_0}^{y}N(x_0,s) \text{d}s \] või \[ u(x,y) = \int_{x_0}^{x} M(s,y_0) \text{d}s + \int_{y_0}^{y}N(x,s) \text{d}s \] korral, kus arvud $x_0$ ja $y_0$ võib valida vabalt, kuid nii, et punkt $(x_0,y_0)$ kuulub piirkonda $R$, milles funktsioonid $M(x,y), \; N(x,y)$ ja $\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}, \; \; \frac{\partial N(x,y)}{\partial x}$ on pidevad.

Kui diferentsiaalvõrrandi $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ ektsaktsuse tingimus (osatuletiste võrdsus) pole täidetud, õnnestub mõnikord sellist võrrandit teisendada eksaktseks, korrutades teda sobiva funktsiooniga ehk integreeruvusteguriga.

Diferentsiaalvõrrandi $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ mõlemaid pooli funktsiooni $\mu = \mu(x,y)$ korrutades, saame diferentsiaalvõrrandi kujul \[ \mu(x,y) M(x,y)dx + \mu(x,y) N(x,y)dy = 0. \] See võrrand on eksaktne oma kordajate ja osatuletiste pidevuse piirkonnas, kui \[ \frac{\partial \mu}{\partial y} M - \frac{\partial \mu}{\partial x}N = \mu \Big( \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} \Big). \] Kui avaldis $\frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{-N}$ sõltub ainult muutujast $x$ või kui avaldis $\frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$ sõltub ainult muutujast $y$, siis diferentsiaalvõrrandil $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ on olemas vastavalt integreeruvustegur $\mu(x) = exp \int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{-N} \text{d}x$ või $\mu(y) = exp \int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} \text{d}y$. Kui kumbki vastavatest avaldistest sõltub nii muutujast $x$ kui ka muutujast $y$, siis sellel diferentsiaalvõrrandil puudub integreeruvustegur.

Lineaarsed diferentsiaalvõrrandid

Esimest järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid

Diferentsiaalvõrrandit nimetatakse lineaarseks, kui ta on lineaarne otsitava funktsiooni ja selle tuletiste suhtes. Hariliku esimest järku lineaarse diferentsiaalvõrrandi üldkujuks on \[ p_0(x) y' + p_1(x)y = f(x), \] kus $p_0(x), \; p_1(x)$ ja $f(x)$ on antud funktsioonid ning $y = y(x)$ on otsitav. Funktsioone $p_0(x)$ ja $p_1(x)$ nimetatakse võrrandi kordajateks ning funktsiooni $f(x)$ nimetatakse vabaliikmeks. Lineaarset võrrandit nimetatakse homogeenseks, kui $f(x) \equiv 0$ ning mittehomogeenseks, kui vabaliige $f(x)$ ei ole nullfunktsioon.

Olgu võrrandi $p_0(x) y' + p_1(x)y = f(x)$ kordajad $p_0(x)$ ja $p_1(x)$ ning vabaliige $f(x)$ pidevad funktsioonid vahemikus $(a,b)$, kusjuures $p_0(x) \neq 0$ iga $x \in (a,b)$ korral. Olgu $x_0 \in (a,b)$ ja $y_0 \in (- \infty, \infty)$ mingid etteantud arvud. Siis on võrrandil $p_0(x) y' + p_1(x)y = f(x)$ olemas parajasti üks lahend $y = y(x)$, mille korral $y(x_0) = y_0$.

Lineaarne homogeenne diferentsiaalvõrrand \[ y' + p(x)y = 0, \] kus korda $p(x)$ on pidev funktsioon vahemikus $(a,b)$, on eralduvate muutujatega võrrand ning tema lahendid avalduvad kujul \[ y = Ce^{- \int p(x) \text{d}x}, \] kus $C$ on suvaline konstant.

Lineaarse mittehomogeense diferentsiaalvõrrandi \[ y' + p(x)y = q(x) \] lahendamiseks võib rakendada konstandi varieerimise meetodit ehk Lagrange'i meetodit. Selle kohaselt leitakse kõigepealt vastava homogeense võrrandi $y' + p(x)y = 0$ üldlahend $y = Ce^{- \int p(x) \text{d}x}$, kus $C$ on suvaline konstant. Seejärel asendatakse selles konstant $C$ sobiva funktsiooniga $C(x)$ nii, et $y = C(x)e^{- \int p(x) \text{d}x}$ rahuldaks võrrandit $y' + p(x)y = q(x)$ vahemikus $(a,b)$. Asendades $y = C(x)e^{- \int p(x) \text{d}x}$ võrrandisse $y' + p(x)y = q(x)$ ja avaldades $C(x):$ \[ C(x) = \int q(x) e^{\int p(x) \text{d}x} \text{d}x + C,\] saame võrrandi $y' + p(x)y = q(x)$ lahenditeks \[ y = Ce^{- \int p(x) \text{d}x} + e^{-\int p(x) \text{d}x} \int q(x) e^{\int p(x) \text{d}x} \text{d}x, \] kus $C$ on suvaline konstant.

Lineaarse võrrandi $y' + p(x)y = q(x)$ lahendid on määratud kogu vahemikus $(a,b)$, kus $p(x)$ ja $q(x)$ on pidevad.

Kõrgemat järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid

Harilikku $n$-järku diferentsiaalvõrrandit nimetatakse lineaarseks, kui ta on lineaarne otsitava funktsiooni ja selle tuletiste suhtes, s.t on kirjutatav kujul \[ p_0(x) y^{(n)} + p_1(x)^{(n-1)} + ... + p_{n-1}(x) y' + p_n(x) y = f(x), \] kus $p_i = p_i(x)$ ja $f(x)$ on antud funktsioonid ning $y = y(x)$ on otsitav. Funktsioone $p_0,...,p_n$ nimetatakse selle võrrandi kordatateks, $p_0(x) y^{(n)}$ on selle võrrandi pealiige, $p_0(x)$ on pealiikme kordaja ning $f(x)$ on selle võrrandi vabaliige. Kui $f = 0$, nimetatakse seda võrrandit lineaarseks homogeenseks, vastasel korral aga lineaarseks mittehomogeenseks diferentsiaalvõrrandiks.

Olgu $p_i = p_i(x), \; \; (i = 0,1,...,n)$ mingid funktsioonid, mis on pidecad vahemikus $(a,b) \subseteq (-\infty, \infty)$. Seame vahemikus $(a,b)$ $n$ korda pidevalt diferentseeruvale funktsioonile $y = y(x)$ vastavusse funktsiooni $Ly = (Ly)(x)$ järgmise eeskirja kohaselt: \[ Ly = p_0(x) y^{(n)} + p_1(x)y^{(n-1)} + ... + p_{n-1}(x)y' + p_n(x)y.\] Eelneva seosega defineeritud funktsiooni nimetatakse lineaarseks diferentsiaaloperaatoriks. Saadud operaator $L$ on lineaarne, s.t suvaliste $n$ korda pidevalt diferentseeruvate funktsioonide $y_1,y_2,y$ ja suvalise skalaari (konstandi) $\lambda$ korral kehtivad võrdused \[ L(y_1 + y_2) = Ly_1 + Ly_2 \; \; \; (\text{aditiivsus}) \] \[ L(\lambda y) = \lambda L(y) \; \; \; (homogeensus). \] Tuginedes operaatori definitsioonile, saab $n$-järku lineaarse diferentsiaalvõrrandi $p_0(x) y^{(n)} + p_1(x)^{(n-1)} + ... + p_{n-1}(x) y' + p_n(x) y = f(x)$ panna lühidalt kirja $Ly = f$, kus $y = y(x)$ on otsitav, $f = f(x)$ aga antud funktsioon, mis on pidev vahemikus $(a,b)$. Lineaarse homogeense $n$ järku diferentsiaalvõrrandi saab kirja panna lühidalt $Ly = 0$. Kui $y$ on võrrandi $Ly = f$ lahendiks, siis kirjutame $Ly \equiv f$.

Olgu $m$ suvaline naturaalarv ja olgu $y_1,...,y_m$ lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi $Ly = 0$ lahendid. Siis on selle võrrandi lahendiks ka \[ y = C_1 y_1 + C_2 y_2 + ... + C_m y_m, \] kus $C_1,...,C_m$ on suvalised konstandid.

Kui $y_h$ on lineaarse homogeense võrrandi $Ly = 0$ lahend, $y_{\ast}$ aga lineaarse mittehomogeense võrrandi $Ly = f$ lahend, siis $y = y_h + y_{\ast}$ on samuti võrrandi $Ly = f$ lahend.

Funktsioonide lineaarse sõltuvus ja sõltumatus

Vahemikus $(a,b)$ määratud pidevaid funktsioone $y_1,y_2,...,y_n$ nimetatakse lineaarselt sõltuvateks vahemikus $(a,b)$, kui leiduvad sellised konstandid $c_1,...,c_n$, mille hulgas on vähemalt üks nullist erinev, et \[ c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x) + ... + c_n y_n (x) = 0 \] iga $x \in (a,b)$ korral. Kui eelnev võrdus kehtib vaid siis, kui $c_1 = c_2 = ... = c_n = 0$, siis öeldakse, et funktsioonid $y_1,...,y_n$ on lineaarselt sõltumatud vahemikus $(a,b)$. Funktsioonid $y_1,...,y_n$ on lineaarselt sõltuvad parajasti siis, kui üks nendest avaldub lineaarkombinatsioonina ülejäänutest.

Öeldakse, et $n$-järku lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi $Ly = 0$ mis tahes $n$ lineaarselt sõltumatut lahendit $y_1(x),...,y_n(x)$ moodustavad selle võrrandi lahendite fundamentaalsüsteemi. Igal lineaarsel homogeensel $n$-järku diferentsiaalvõrrandil on lahendite fundamentaalsüsteem $y_1(x),...,y_n(x)$ olemas, kui $p_i(x)$ on pidevad vahemikus $(a,b)$ ja $p_0(x) \neq 0$, kusjuures on sellisel juhul lahendite fundamentaalsüsteeme lõpmata palju.

Lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi lahendite $y_1,...,y_n$ lineaarse sõltuvuse või sõltumatuse üle saab otsustada nende funktsioonide Wronski determinandi abil. Olgu $y_i = y_i(x), \; (i = 1,2,...,n)$ vahemikus $(a,b)$ määratud ja $n-1$ korda pidevalt diferentseeruvad funktsioonid. Determinanti \[ W(x) = \begin{vmatrix} y_1(x) & y_2(x) & ... & y_n(x) \\ y_1^{'}(x) & y_2^{'}(x) & ... & y_n^{'}(x) \\ ... & ... & ... & ... \\ y_1^{(n-1)}(x) & y_2^{(n-1)}(x) & ... & y_n^{(n-1)}(x) \end{vmatrix} \] nimetatakse funktsioonide $y_1(x), y_2(x),...,y_n(x)$ Wronski determinandiks (punktis $x$). Wronski determinanti tähistatakse ka $W(y_1(x),...,y_n(x))$.

Lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi $Ly = 0$ lahendid $y_1(x),...,y_n(x)$ on vahemikus $(a,b)$ lineaarselt sõltuvad parajasti siis, kui $W(x_0) = 0$ mingi $x_0 \in (a,b)$ korral ning lineaarselt sõltumatud parajasti siis, kui $W(x_0) \neq 0$ mingi $x_0 \in (a,b)$ korral.

Lineaarse diferentsiaalvõrrandi üldlahend

Kui vahemikus $(a,b)$ pidevate kordajatega $(p_0,...,p_n)$ ja vabaliikmega $f(x)$ lineaarsele diferentsiaalvõrrandile \[ p_0(x) y^{(n)} + p_1(x) y^{(n-1)} + ... + p_{n-1}(x) y' + p_n (x) y = f(x) \; \; (p_0(x) \neq 0 \; \forall x \in (a,b)) \] vastava homogeense võrrandi $Ly = 0$ lahendite fundamentaalsüsteem on $y_1(x),...,y_n(x)$ ning mittehomogeense lineaarse võrrandi $Ly = f$ üheks erilahendiks on $y_{\ast}(x)$, siis mittehomogeense lineaarse võrrandi $Ly = f$ üldlahend avaldub kujul \[ y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) + ... + C_m y_n(x) + y_{\ast}(x), \] kus $x \in (a,b)$ ning $C_1,...,C_n$ on suvalised konstandid. Üldlahendiga on ära määratud mittehomogeense võrrandi kõik lahendid, s.t selle võrrandi mis tahes lahend on saadav üldlahendist konstantide $C_1,...,C_n$ fikseerimise teel.

Kui on teada lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi $Ly = 0$ lahendite fundamentaalsüsteem, siis mittehomogeense võrrandi $Ly = f$ erilahendit saab otsida, kasutades Lagrange'i meetodi ehk konstantide varieerimise meetodit.
Olgu $p_0,...,p_n$ ja $f$ pidevad funktsioonid vahemikus $(a,b)$ ning olgu $p_0(x) \neq 0$ iga $x \in (a,b)$ korral. Olgu $n$-järku homogeense diferentsiaalvõrrandi $Ly = 0$ lahendite fundamentaalsüsteem $y_1(x),y_2(x),...,y_n(x)$. Otsime lineaarse mittehomogeense diferentsiaalvõrrandi $Ly = f$ erilahendit $y_{\ast}(x)$ kujul \[ y_{\ast}(x) = C_1(x) y_1(x) + C_2(x) y_2(x) + ... + C_n(x) y_n(x), \] mis on formaalselt saadav lineaarse homogeense võrrandi $Ly = 0$ üldlahendist \[ y(x) = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) + ... + C_n y_n(x), \] kus asendame suvalised konstandid $C_1,...,C_n$ diferentseeruvate funktsioonidega $C_1(x),...,C_n(x)$. Need funktsioonid tuleb valida nii, et valemiga $y_{\ast}(x) = C_1(x) y_1(x) + C_2(x) y_2(x) + ... + C_n(x) y_n(x)$ määratud funktsioon $y_{\ast}(x)$ oleks võrrandi $Ly = f$ lahendiks. See on vaid üks tingimus $n$ funktsiooni $C_1(x),...,C_n(x)$ määramiseks. Puuduvad $n-1$ tingimust võime seega vabalt ette anda. Need anname ette nii, et tuletised kuni järguni $n-1$ oleks võimalikult lihtsa kujuga. Võrrandi erilahend on \[ y_{\ast}(x) = \sum_{k=1}^n y_k(x) \int \frac{W_k(x) f(x)}{W(x) p_0(x)} \text{d}x, \] kus $W(x)$ on lahendite fundamentaalsüsteemi $y_1(x),...,y_n(x)$ Wronski determinant ning $W_k(x)$ on saadud Wronski determinandist $W(x)$, kui asendada $k$-nda veeru elemendid elementidega $0,0,...,0,1$.

Vaatleme lineaarset konstantsete kordajatega diferentsiaalvõrrandit \[ y^{(n)} + p_1 y^{(n-1)} + ... + p_{n-1} y' + p_n y = f, \; \; (1)\] kus $p_1,...,p_n$ on mingid reaalarvud, $f = f(x)$ on antud vabaliige ning $y = y(x)$ on otsitav.

Sellle võrrandi üldlahendiks on \[ y = C_1 y_1 + C_2 y_2 + ... + C_n y_n + y_{\ast}, \] kus $y_1(x),...,y_n(x)$ on vastava homogeense võrrandi lahendite fundamentaalsüsteem, $y_{\ast}(x)$ ning $C_1,...,C_n$ on suvalised konstandid

Konstantsete kordajatega lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi lahendite fundamentaalsüsteemi leidmise saab taandada teatava algebralise võrrandi lahendamisele. Otsime homogeense võrrandi lahendit kujul $y = e^{\lambda x}$, kus $\lambda$ on parameeter. Siis jõuame algebralise võrrandini \[ \lambda^n + p_1 \lambda^{n-1} + ... + p_{n-1} \lambda + p_n = 0, \; \; \; (2) \] mida nimetatakse diferentsiaalvõrrandi $(1)$ karakteristlikuks võrrandiks ning selle võrrandi lahendeid nimetatakse karakteristlikeks väärtusteks. Vastavat polünoomi $\mathcal{P}(\lambda) = \lambda^n + p_1 \lambda^{n-1} + ... + p_{n-1} \lambda + p_n$ nimetatakse võrrandi $(1)$ karakteristlikuks polünoomiks.

Funktsioon $y = e^{\lambda x}$ on diferentsiaalvõrrandi $(1)$ lahendiks parajasti siis, kui $\lambda$ on vastava karakteristliku võrrandi $(2)$ lahendiks.

Algebrast on teada, et $n$-astme polünoomil on parajasti $n$ juurt ehk nullkohta $\lambda_1,...,\lambda_n$, kui arvestada nende kordsusi.

Kui karakteristliku polünoomi $\mathcal{P}(\lambda) = \lambda^n + p_1 \lambda^{n-1} + ... + p_{n-1} \lambda + p_n$ kõik juured on ühekordsed, s.t paarikaupa erinevad, siis võrrandi $(1)$ lahendid on $y_1 = e^{\lambda_1x}, ... , y_n = e^{\lambda_n x}$ ning need lahendid on lineaarselt sõltumatud, kuna nende lahendite Wronski determinant $W(x)$ on nullist erinev iga $x \in \mathbb{R}$ korral. Seega need lahendid moodustavad lahendite fundamentaalsüsteemi ning selle diferentsiaalvõrrandi üldlahendiks on \[ y = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x} + ... + C_n e^{\lambda_n x}, \] kus $c \in \mathbb{R}$ ja $C_1,...,C_n$ on suvalised konstandid. Eelnev tulemus kehtib sõltumatu sellest, kas saadud karakteristlikud väärtused on reaalarvulised või kompleksarvulised. Olgu arv $\tilde{\lambda}$ diferentsiaalvõrrandi $y^{(n)} + p_1 y^{(n-1)} + ... + p_{n-1} y' + p_n y = 0$ $m$-kordne karakteristlik väärtus. Siis funktsioonid kujul \[ y_1 = e^{\tilde{\lambda}x}, \; \; y_2 = xe^{\tilde{\lambda}x}, \; ... \; , y_m = x^{m-1}e^{\tilde{\lambda}x} \] on selle võrrandi lahenditeks.

Rakendusülesannetes on konstantsete kordajatega lineaarse diferentsiaalvõrrandi \[ y^{(n)} + p_1 y^{(n-1)} + ... + p_n y = f(x) \] vabaliikmeks $f(x)$ sageli funktsioon ühel järgmistest kujudest \[ Q_m(x), \; \; e^{\alpha x} Q_m(x), \; \; e^{\alpha x} Q_m(x) \cos \beta x, \; \; e^{\alpha x} Q_m(x) \sin \beta x, \] kus $Q_m(x) = q_0 x^m + q_1 x^{m-1} + ... + q_m$ on $m$-astme $m \ge 0$ polünoom, $\alpha$ ja $\beta$ aga mingid reaalarvud (ka kordajate $p_1,...,p_n$ ning $q_0,...,q_m$ osas vaatleme ainult reaalarve). Niisuguste vabaliikmete korral kasutatakse antud võrrandi erilahendi $y_{\ast}(x)$ leidmiseks sageli määramata kordajate meetodit. Selle kohaselt asetame võrrandisse $y^{(n)} + p_1 y^{(n-1)} + ... + p_n y = f(x)$ oletatava lahendi $y_{\ast}(x)$, mille struktuur on lähedane vabaliikme struktuurile ja milles oleva polünoomi kordajad on esialgu määramata, ning seejärel määrame need kordajad nii, et võrrand oleks tõepoolest rahuldatud.